Номер 5.32, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.32. На рёбрах $AD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 5.25). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $MK$ параллельно прямой $CD$.

Рис. 5.25

Построение:

Обозначим искомую плоскость сечения как $α$. По условию, прямая $MK$ лежит в этой плоскости ($MK ⊂ α$), и эта плоскость параллельна прямой $CD$ ($α || CD$).

1. Рассмотрим грань $ADC$. Эта грань содержит прямую $CD$ и точку $M$, которая принадлежит плоскости сечения $α$. Согласно свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($α$) проходит через точку ($M$), не лежащую на данной прямой ($CD$), и параллельна этой прямой, то линия пересечения плоскости $α$ с плоскостью грани $ADC$ должна быть параллельна прямой $CD$.

   Следовательно, в плоскости грани $ADC$ через точку $M$ проведем прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечет ребро $AC$ в некоторой точке $P$. Отрезок $MP$ является линией пересечения плоскости сечения $α$ с гранью $ADC$. Таким образом, мы построили отрезок $MP$ так, что $MP || CD$.

2. Аналогично рассмотрим грань $BDC$. Эта грань содержит прямую $CD$ и точку $K$, которая также принадлежит плоскости сечения $α$. Линия пересечения плоскости $α$ с плоскостью грани $BDC$ должна проходить через точку $K$ и быть параллельной прямой $CD$.

   В плоскости грани $BDC$ через точку $K$ проведем прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечет ребро $BD$ в некоторой точке $N$. Отрезок $NK$ является линией пересечения плоскости сечения $α$ с гранью $BDC$. Таким образом, мы построили отрезок $NK$ так, что $NK || CD$.

3. Мы получили четыре точки, лежащие в плоскости сечения $α$: $M$, $P$, $K$, $N$. Точка $M$ лежит на ребре $AD$, точка $P$ – на ребре $AC$, точка $K$ – на ребре $BC$, и точка $N$ – на ребре $BD$.

   Последовательно соединим эти точки отрезками: $MP$, $PK$, $KN$ и $NM$. Полученный четырехугольник $MPKN$ и есть искомое сечение тетраэдра.

   Заметим, что так как $MP || CD$ и $NK || CD$, то по свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, $MP || NK$. Следовательно, построенное сечение $MPKN$ является трапецией (или параллелограммом в частном случае).

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $MPKN$, где точка $P$ лежит на ребре $AC$ и $MP || CD$, а точка $N$ лежит на ребре $BD$ и $NK || CD$.