Номер 5.28, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.28. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство данного утверждения состоит из двух частей: доказательства существования такой плоскости и доказательства ее единственности.

Доказательство существования

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку $M$ проведём прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственна.

Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$ и, следовательно, задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. По построению, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ ($a \subset \alpha$).

Теперь докажем, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$. Если предположить обратное ($b \subset \alpha$), то прямые $a$ и $b$ будут лежать в одной плоскости $\alpha$, что противоречит условию о том, что они скрещивающиеся.

При этом в плоскости $\alpha$ лежит прямая $b'$, которая по построению параллельна прямой $b$.

Так как $b \not\subset \alpha$ и $b \parallel b'$, где $b' \subset \alpha$, то по признаку параллельности прямой и плоскости $b \parallel \alpha$.

Таким образом, существование плоскости, проходящей через прямую $a$ и параллельной прямой $b$, доказано.

Доказательство единственности

Предположим, что существует другая плоскость $\beta$ ($\beta \neq \alpha$), которая также проходит через прямую $a$ ($a \subset \beta$) и параллельна прямой $b$ ($b \parallel \beta$).

Так как $a \subset \beta$, любая точка прямой $a$ принадлежит и плоскости $\beta$. В частности, точка $M$, которую мы выбрали для построения, лежит в плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

Поскольку $b \parallel \beta$, то через точку $M$, лежащую в плоскости $\beta$, можно провести прямую, параллельную $b$, и эта прямая будет целиком лежать в плоскости $\beta$. Но через точку $M$ в пространстве проходит только одна прямая, параллельная $b$, — это прямая $b'$. Следовательно, прямая $b'$ должна лежать в плоскости $\beta$ ($b' \subset \beta$).

Получается, что плоскость $\beta$ проходит через две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$. Однако через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость. По построению, это и есть плоскость $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать ($\alpha = \beta$).

Это противоречит нашему первоначальному предположению, что $\beta \neq \alpha$. Следовательно, предположение неверно, и существует только одна плоскость, удовлетворяющая условиям задачи.

Ответ: Утверждение доказано.