Номер 5.22, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.22. Точки $E$ и $F$ — середины соответственно рёбер $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.24). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки $E$ и $F$ и параллельной прямой $DD_1$. Вычислите периметр сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 5.24

Построение сечения

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения.
1. Точки $E$ и $F$ лежат как в плоскости сечения $\alpha$, так и в плоскости основания $ABCD$. Следовательно, их соединяющий отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABCD$.
2. По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $DD_1$. Так как все боковые рёбра куба параллельны ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$), секущая плоскость $\alpha$ пересекает боковые грани по прямым, параллельным боковым рёбрам.
3. Проведём через точку $E$ на грани $ABB_1A_1$ прямую, параллельную ребру $AA_1$. Эта прямая пересечёт ребро $A_1B_1$ в точке $E_1$. Поскольку $E$ — середина $AB$, то по теореме Фалеса $E_1$ — середина $A_1B_1$. Отрезок $EE_1$ — одна из сторон сечения.
4. Аналогично, проведём через точку $F$ на грани $BCC_1B_1$ прямую, параллельную ребру $BB_1$. Эта прямая пересечёт ребро $B_1C_1$ в точке $F_1$. Так как $F$ — середина $BC$, то $F_1$ — середина $B_1C_1$. Отрезок $FF_1$ — ещё одна сторона сечения.
5. Соединим точки $E_1$ и $F_1$, лежащие в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $E_1F_1$ — линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью.
Полученный четырёхугольник $EFF_1E_1$ является искомым сечением.

Определим вид этого четырёхугольника.
По построению $EE_1 \parallel AA_1$ и $FF_1 \parallel BB_1$. Так как $AA_1 \parallel BB_1$, то $EE_1 \parallel FF_1$, и их длины равны ребру куба $a$.
В треугольнике $ABC$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $EF$ — средняя линия, и $EF \parallel AC$.
Аналогично, в треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $E_1F_1$ — средняя линия, и $E_1F_1 \parallel A_1C_1$.
Так как $AC \parallel A_1C_1$, то $EF \parallel E_1F_1$.
Таким образом, в четырёхугольнике $EFF_1E_1$ противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм.
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, значит и $EE_1 \perp (ABCD)$. Следовательно, $EE_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через $E$, в том числе и прямой $EF$. Таким образом, угол $\angle E_1EF = 90^\circ$.
Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
Ответ: Искомым сечением является прямоугольник $EFF_1E_1$, где точки $E_1$ и $F_1$ — середины рёбер $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно.

Вычисление периметра сечения

Периметр прямоугольника $EFF_1E_1$ вычисляется по формуле $P = 2(EE_1 + EF)$.
Длина стороны $EE_1$ равна длине бокового ребра куба: $EE_1 = a$.
Длину стороны $EF$ найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $EBF$ ($\angle B = 90^\circ$), в котором катеты $EB$ и $BF$ равны половине ребра куба:
$EB = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$
$BF = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$
$EF^2 = EB^2 + BF^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$
$EF = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Теперь можем вычислить периметр сечения:
$P = 2(EE_1 + EF) = 2(a + \frac{a\sqrt{2}}{2}) = 2a + a\sqrt{2} = a(2 + \sqrt{2})$
Ответ: $a(2 + \sqrt{2})$.