Номер 5.20, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.20. Точка $E$ — середина ребра $AD$ тетраэдра $DABC$ (рис. 5.22). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $B$ и $E$ и параллельной прямой $AC$. Вычислите периметр сечения, если каждое ребро тетраэдра равно 4 см.

Рис. 5.22

Построение сечения

Обозначим секущую плоскость как $ \alpha $. По условию задачи, плоскость $ \alpha $ проходит через точки $ B $ и $ E $ и параллельна прямой $ AC $.

1. Точки $ B $ и $ E $ принадлежат секущей плоскости $ \alpha $ и тетраэдру, следовательно, отрезок $ BE $ является одной из сторон искомого сечения.
2. Прямая $ AC $ лежит в плоскости грани $ ADC $. Секущая плоскость $ \alpha $ параллельна прямой $ AC $. По свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения плоскости $ \alpha $ с плоскостью $ ADC $ должна быть параллельна прямой $ AC $.
3. Проведем в плоскости грани $ ADC $ через точку $ E $ прямую, параллельную $ AC $. Эта прямая пересечет ребро $ DC $ в точке, которую мы обозначим $ F $. Отрезок $ EF $ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $ ADC $ и, следовательно, еще одна сторона сечения.
4. Мы получили три точки сечения: $ B $, $ E $ и $ F $. Соединим точки $ B $ и $ F $ отрезком. Отрезок $ BF $ лежит в плоскости грани $ DBC $ и является третьей стороной сечения.

Таким образом, сечение тетраэдра $ DABC $ указанной плоскостью представляет собой треугольник $ BEF $.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $ BEF $, где $ F $ — точка на ребре $ DC $, такая что $ EF \parallel AC $.

Вычисление периметра сечения

Периметр треугольника $ BEF $ равен сумме длин его сторон: $ P_{BEF} = BE + EF + FB $.
По условию, все ребра тетраэдра равны 4 см. Это значит, что тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники со стороной 4 см.

1. Найдем длину стороны $ EF $.
Рассмотрим $ \triangle ADC $. Он равносторонний со стороной 4 см. Точка $ E $ — середина ребра $ AD $. Так как по построению $ EF \parallel AC $, то по теореме Фалеса отрезок $ EF $ является средней линией $ \triangle ADC $. Следовательно, точка $ F $ — середина ребра $ DC $.
Длина средней линии равна половине длины основания: $ EF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 $ см.

2. Найдем длину стороны $ BE $.
Рассмотрим $ \triangle ABD $. Он равносторонний со стороной 4 см. Точка $ E $ — середина $ AD $. Отрезок $ BE $ является медианой этого треугольника.
Для нахождения длины $ BE $ применим теорему косинусов к $ \triangle ABE $. В этом треугольнике $ AB = 4 $ см, $ AE = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 $ см, а угол $ \angle BAE = 60^\circ $ (так как $ \triangle ABD $ равносторонний).
$ BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 \cdot AB \cdot AE \cdot \cos(60^\circ) $
$ BE^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 4 - 8 = 12 $
$ BE = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $ см.

3. Найдем длину стороны $ FB $.
Рассмотрим $ \triangle DBC $. Он также является равносторонним со стороной 4 см. Точка $ F $ — середина ребра $ DC $. Следовательно, отрезок $ FB $ является медианой этого треугольника.
Треугольники $ ABD $ и $ DBC $ равны, поэтому их медианы, проведенные к боковым сторонам из вершины $ B $, также равны.
$ FB = BE = 2\sqrt{3} $ см.

4. Вычислим периметр сечения.
$ P_{BEF} = BE + FB + EF = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2 = 4\sqrt{3} + 2 $ см.

Ответ: $ (4\sqrt{3} + 2) $ см.