Номер 5.14, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.14. Плоскость $\alpha$, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите отношение $AE : EC$, если $CF : CB = 3 : 11$.

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$. Эта плоскость пересекает плоскость треугольника $ABC$ по прямой, проходящей через точки $E$ и $F$.

Согласно свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. В нашем случае, так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$, то линия пересечения $EF$ плоскости $\alpha$ и плоскости треугольника $ABC$ будет параллельна стороне $AB$. Таким образом, $EF \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EFC$.

• Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
• Так как $EF \parallel AB$, то углы $\angle CEF$ и $\angle CAB$ являются соответственными при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle CEF = \angle CAB$.

Отсюда следует, что треугольник $\triangle EFC$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:
$\frac{EC}{AC} = \frac{CF}{BC} = \frac{EF}{AB}$

По условию задачи дано отношение $CF : CB = 3 : 11$, что можно записать в виде дроби:
$\frac{CF}{BC} = \frac{3}{11}$

Из пропорциональности сторон подобных треугольников следует:
$\frac{EC}{AC} = \frac{CF}{BC} = \frac{3}{11}$

Из соотношения $\frac{EC}{AC} = \frac{3}{11}$ можно выразить длины отрезков через некоторый коэффициент пропорциональности $k$: $EC = 3k$, $AC = 11k$.

Точка $E$ лежит на стороне $AC$, поэтому $AC = AE + EC$. Найдем длину отрезка $AE$:
$AE = AC - EC = 11k - 3k = 8k$

Теперь мы можем найти искомое отношение $AE : EC$:
$\frac{AE}{EC} = \frac{8k}{3k} = \frac{8}{3}$

Следовательно, $AE : EC = 8 : 3$.

Ответ: $8:3$