Номер 5.8, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.8. Вершины $E$ и $F$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежат в плоскости $\alpha$, отличной от плоскости шестиугольника (рис. 5.15). Каково взаимное расположение плоскости $\alpha$ и прямой:

1) $BC$;

2) $AB$;

3) $BD$;

4) $AD$?

Рис. 5.15

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника и признаками взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Обозначим плоскость шестиугольника как β. По условию, плоскость α и плоскость β различны. Так как точки E и F принадлежат обеим плоскостям, то плоскости α и β пересекаются по прямой EF.

1) BC

В правильном шестиугольнике ABCDEF противолежащие стороны параллельны. Следовательно, сторона BC параллельна стороне FE ($BC \parallel FE$).

По условию, вершины E и F лежат в плоскости α, а значит, и вся прямая FE лежит в плоскости α.

Прямая BC не лежит в плоскости α, так как в противном случае плоскость шестиугольника β совпадала бы с плоскостью α, что противоречит условию.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Так как $BC \parallel FE$ и прямая FE лежит в плоскости α, то прямая BC параллельна плоскости α.

Ответ: Прямая BC параллельна плоскости α.

2) AB

Прямая AB лежит в плоскости шестиугольника β. Плоскости α и β пересекаются по прямой EF.

В правильном шестиугольнике смежные стороны AB и FE не параллельны. Поскольку прямая AB лежит в плоскости β и не параллельна линии пересечения EF, она должна пересекать линию пересечения EF в некоторой точке.

Так как эта точка пересечения принадлежит прямой EF, она также принадлежит и плоскости α. Следовательно, прямая AB имеет с плоскостью α одну общую точку, то есть пересекает ее.

Ответ: Прямая AB пересекает плоскость α.

3) BD

Прямая BD является диагональю шестиугольника и лежит в его плоскости β. Плоскости α и β пересекаются по прямой EF.

В правильном шестиугольнике диагональ BD не параллельна стороне EF. Это можно показать, например, с помощью векторов или координатного метода. Прямые BD и EF лежат в одной плоскости β и не параллельны, значит, они пересекаются.

Так как прямая BD лежит в плоскости β и не параллельна прямой пересечения EF, она пересекает прямую EF. Точка их пересечения принадлежит прямой EF, а значит, и плоскости α.

Следовательно, прямая BD пересекает плоскость α.

Ответ: Прямая BD пересекает плоскость α.

4) AD

Прямая AD является большой диагональю правильного шестиугольника. По свойству правильного шестиугольника, большая диагональ AD параллельна стороне BC ($AD \parallel BC$).

Как было установлено в пункте 1, сторона BC параллельна стороне FE ($BC \parallel FE$).

Используя свойство транзитивности параллельных прямых, из $AD \parallel BC$ и $BC \parallel FE$ следует, что $AD \parallel FE$.

Прямая FE лежит в плоскости α. Прямая AD не лежит в плоскости α, так как в противном случае плоскость шестиугольника β совпадала бы с плоскостью α.

По признаку параллельности прямой и плоскости, так как прямая AD параллельна прямой FE, лежащей в плоскости α, то прямая AD параллельна плоскости α.

Ответ: Прямая AD параллельна плоскости α.