Номер 5.6, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.6. Прямая $a$ и плоскость $\alpha$ параллельны прямой $b$. Каким может быть взаимное расположение прямой $a$ и плоскости $\alpha$?

По условию задачи прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$), и плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$ ($\alpha \parallel b$).Определение параллельности прямой и плоскости гласит, что они не имеют общих точек. Таким образом, условие $\alpha \parallel b$ означает, что прямая $b$ и плоскость $\alpha$ не пересекаются, то есть $b \cap \alpha = \emptyset$.

Существует три возможных варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1. Прямая пересекает плоскость в одной точке.
2. Прямая параллельна плоскости (не имеет с ней общих точек).
3. Прямая лежит в плоскости.

Рассмотрим, какие из этих случаев возможны при заданных условиях.

Сначала докажем, что прямая $a$ не может пересекать плоскость $\alpha$.
Предположим обратное: прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$.Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), через них можно провести единственную плоскость $\beta$. Таким образом, $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.Точка $M$ принадлежит и прямой $a$, и плоскости $\alpha$. Так как $a \subset \beta$, то точка $M$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $c$, причем $M \in c$.По условию, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $b$ не имеет общих точек ни с одной прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. В частности, $b$ не пересекает прямую $c$, которая полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).Прямые $b$ и $c$ обе лежат в плоскости $\beta$ и не пересекаются, следовательно, они параллельны: $b \parallel c$.Теперь рассмотрим плоскость $\beta$. В ней лежат прямые $a$, $b$ и $c$. Мы имеем:

• $a \parallel b$ (по условию задачи).
• $c \parallel b$ (по нашему доказательству).

Согласно теореме о параллельности прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), из этого следует, что $a \parallel c$.Однако мы исходили из того, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Поскольку $c$ — это линия пересечения плоскостей, содержащих $a$ и $\alpha$, то точка $M$ должна лежать и на прямой $c$. Таким образом, прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$.Мы получили противоречие: прямые $a$ и $c$ одновременно параллельны и пересекаются. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $a$ не может пересекать плоскость $\alpha$.

Поскольку пересечение невозможно, остаются два возможных случая. Покажем, что оба они реализуемы.

1. Прямая a параллельна плоскости α.
Этот случай возможен. Приведем пример. В прямоугольной системе координат пусть прямая $b$ совпадает с осью $Ox$. Пусть плоскость $\alpha$ задана уравнением $z=1$. Эта плоскость параллельна оси $Ox$. Пусть прямая $a$ задана как пересечение плоскостей $y=1$ и $z=2$. Прямая $a$ также параллельна оси $Ox$. В данном случае условия $a \parallel b$ и $\alpha \parallel b$ выполнены. При этом прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$, то есть $a \parallel \alpha$.

2. Прямая a лежит в плоскости α.
Этот случай также возможен. Приведем пример. Пусть, как и ранее, прямая $b$ совпадает с осью $Ox$, а плоскость $\alpha$ задана уравнением $z=1$ ($\alpha \parallel b$). Пусть прямая $a$ задана как пересечение плоскостей $y=2$ и $z=1$. Эта прямая лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна оси $Ox$. Таким образом, условия $a \parallel b$ и $\alpha \parallel b$ выполнены, и при этом $a \subset \alpha$.

Таким образом, взаимное расположение прямой $a$ и плоскости $\alpha$ может быть одним из двух: прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ или прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
Ответ: Прямая $a$ может быть параллельна плоскости $\alpha$ или может лежать в плоскости $\alpha$.