Вопросы, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. В каком случае прямую и плоскость называют параллельными?

2. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

3. Какой отрезок называют параллельным плоскости?

4. Сформулируйте теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.

1. В каком случае прямую и плоскость называют параллельными?
Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая $a$ и плоскость $\alpha$ параллельны, то их пересечение является пустым множеством: $a \cap \alpha = \emptyset$. Такое расположение обозначается как $a \parallel \alpha$.
Ответ: Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек.

2. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Формально: если прямая $a$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$) и существует прямая $b$, которая принадлежит плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$) и параллельна прямой $a$ ($a \parallel b$), то прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
Ответ: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

3. Какой отрезок называют параллельным плоскости?
Отрезок называют параллельным плоскости, если прямая, содержащая этот отрезок, параллельна данной плоскости. Например, отрезок $AB$ будет параллелен плоскости $\alpha$, если прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, параллельна плоскости $\alpha$.
Ответ: Отрезок называют параллельным плоскости, если прямая, которой принадлежит этот отрезок, параллельна плоскости.

4. Сформулируйте теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.
Достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве описываются следующими теоремами:
1) Теорема о транзитивности параллельности прямых: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Если $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то $a \parallel b$.
2) Теорема о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), и плоскость $\gamma$ пересекает их по прямым $a$ и $b$ соответственно, то $a \parallel b$.
3) Следствие из признака параллельности прямой и плоскости: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Ответ: Достаточными условиями параллельности двух прямых в пространстве являются, например, следующие: 1) две прямые параллельны третьей прямой; 2) прямые являются линиями пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.