Страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. В каком случае прямую и плоскость называют параллельными?

2. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

3. Какой отрезок называют параллельным плоскости?

4. Сформулируйте теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.

1. В каком случае прямую и плоскость называют параллельными?
Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая $a$ и плоскость $\alpha$ параллельны, то их пересечение является пустым множеством: $a \cap \alpha = \emptyset$. Такое расположение обозначается как $a \parallel \alpha$.
Ответ: Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек.

2. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Формально: если прямая $a$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$) и существует прямая $b$, которая принадлежит плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$) и параллельна прямой $a$ ($a \parallel b$), то прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
Ответ: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

3. Какой отрезок называют параллельным плоскости?
Отрезок называют параллельным плоскости, если прямая, содержащая этот отрезок, параллельна данной плоскости. Например, отрезок $AB$ будет параллелен плоскости $\alpha$, если прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, параллельна плоскости $\alpha$.
Ответ: Отрезок называют параллельным плоскости, если прямая, которой принадлежит этот отрезок, параллельна плоскости.

4. Сформулируйте теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.
Достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве описываются следующими теоремами:
1) Теорема о транзитивности параллельности прямых: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Если $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то $a \parallel b$.
2) Теорема о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), и плоскость $\gamma$ пересекает их по прямым $a$ и $b$ соответственно, то $a \parallel b$.
3) Следствие из признака параллельности прямой и плоскости: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Ответ: Достаточными условиями параллельности двух прямых в пространстве являются, например, следующие: 1) две прямые параллельны третьей прямой; 2) прямые являются линиями пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

5.1. Укажите среди окружающих предметов модели плоскости и параллельной ей прямой.

5.1.

Для того чтобы указать модели плоскости и параллельной ей прямой среди окружающих предметов, нужно сначала определить, что означают эти геометрические понятия в реальном мире. Моделью плоскости может служить любая ровная, плоская поверхность (например, пол, столешница, поверхность воды в бассейне). Моделью прямой является любой длинный и тонкий предмет или край объекта (например, карандаш, натянутая нить, край стола).

Прямая параллельна плоскости, если она не пересекает эту плоскость, сколько бы их ни продолжали, и не лежит в этой плоскости. Это означает, что каждая точка прямой находится на одинаковом расстоянии от плоскости.

Вот несколько примеров моделей плоскости и параллельной ей прямой из окружающей обстановки:

• Пример 1: Комната
  • Модель плоскости: поверхность пола.
  • Модель параллельной ей прямой: линия стыка потолка и стены (потолочный плинтус) или карниз для штор.

  Пол является плоской поверхностью. Линия, по которой потолок сходится со стеной, является прямой. В стандартном помещении с параллельными полом и потолком эта прямая никогда не пересечет плоскость пола.

• Пример 2: Улица
  • Модель плоскости: поверхность асфальтированной дороги (условно считаем ее плоской).
  • Модель параллельной ей прямой: натянутый между столбами электрический провод, идущий вдоль дороги.

  Дорожное полотно представляет собой плоскость. Провод, подвешенный на опорах, является моделью прямой, которая находится на определенной высоте над дорогой и не пересекает ее.

• Пример 3: Мебель в комнате
  • Модель плоскости: поверхность крышки стола (столешница).
  • Модель параллельной ей прямой: край книжной полки, которая висит на стене над столом.

  Столешница — это модель плоскости. Если полка висит ровно и параллельно столу, то ее край (прямая) будет находиться на постоянном расстоянии от плоскости столешницы.

• Пример 4: Футбольное поле
  • Модель плоскости: поверхность футбольного поля.
  • Модель параллельной ей прямой: перекладина футбольных ворот.

  Игровое поле является плоскостью. Перекладина ворот представляет собой отрезок прямой, который расположен на фиксированной высоте над землей и параллелен ее поверхности.

Ответ: Примерами моделей плоскости и параллельной ей прямой являются: пол и линия стыка потолка со стеной; поверхность дороги и идущий вдоль нее электрический провод; столешница и край полки над ней; футбольное поле и перекладина ворот.

5.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.13). Плоскостям каких граней куба параллельно ребро:

1) $AD$;

2) $C_1D_1$;

3) $BB_1$?

Рис. 5.13

1) AD
Прямая (ребро) параллельна плоскости (грани), если она не лежит в этой плоскости и параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.
Ребро $AD$ принадлежит граням $ABCD$ и $ADD_1A_1$, поэтому оно не может быть им параллельно. Ребро $AD$ пересекает плоскости граней $ABB_1A_1$ (в точке $A$) и $DCC_1D_1$ (в точке $D$), поэтому оно им также не параллельно.
Остаются две грани: $BCC_1B_1$ и $A_1B_1C_1D_1$.
1. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. В ней лежит ребро $BC$. Так как $ABCD$ — грань куба (квадрат), то $AD \parallel BC$. Поскольку ребро $AD$ не лежит в плоскости $BCC_1B_1$ и параллельно ребру $BC$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $AD$ параллельно плоскости грани $BCC_1B_1$.
2. Рассмотрим грань $A_1B_1C_1D_1$. В ней лежит ребро $A_1D_1$. Так как $ADD_1A_1$ — грань куба (квадрат), то $AD \parallel A_1D_1$. Поскольку ребро $AD$ не лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ и параллельно ребру $A_1D_1$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $AD$ параллельно плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$.
Ответ: плоскостям граней $BCC_1B_1$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) C₁D₁
Ребро $C_1D_1$ принадлежит граням $A_1B_1C_1D_1$ и $DCC_1D_1$, поэтому не может быть им параллельно. Ребро $C_1D_1$ пересекает плоскости граней $ADD_1A_1$ (в точке $D_1$) и $BCC_1B_1$ (в точке $C_1$), поэтому оно им также не параллельно.
Остаются две грани: $ABCD$ и $ABB_1A_1$.
1. Рассмотрим грань $ABCD$. В ней лежит ребро $CD$. Так как $DCC_1D_1$ — грань куба (квадрат), то $C_1D_1 \parallel CD$. Поскольку ребро $C_1D_1$ не лежит в плоскости $ABCD$ и параллельно ребру $CD$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $C_1D_1$ параллельно плоскости грани $ABCD$.
2. Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. В ней лежит ребро $AB$. В кубе ребра $C_1D_1$ и $AB$ параллельны (так как $C_1D_1 \parallel CD$ и $CD \parallel AB$). Поскольку ребро $C_1D_1$ не лежит в плоскости $ABB_1A_1$ и параллельно ребру $AB$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $C_1D_1$ параллельно плоскости грани $ABB_1A_1$.
Ответ: плоскостям граней $ABCD$ и $ABB_1A_1$.

3) BB₁
Ребро $BB_1$ принадлежит граням $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$, поэтому не может быть им параллельно. Ребро $BB_1$ пересекает плоскости граней $ABCD$ (в точке $B$) и $A_1B_1C_1D_1$ (в точке $B_1$), поэтому оно им также не параллельно.
Остаются две грани: $ADD_1A_1$ и $DCC_1D_1$.
1. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. В ней лежит ребро $AA_1$. Так как $ABB_1A_1$ — грань куба (квадрат), то $BB_1 \parallel AA_1$. Поскольку ребро $BB_1$ не лежит в плоскости $ADD_1A_1$ и параллельно ребру $AA_1$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $BB_1$ параллельно плоскости грани $ADD_1A_1$.
2. Рассмотрим грань $DCC_1D_1$. В ней лежит ребро $CC_1$. Так как $BCC_1B_1$ — грань куба (квадрат), то $BB_1 \parallel CC_1$. Поскольку ребро $BB_1$ не лежит в плоскости $DCC_1D_1$ и параллельно ребру $CC_1$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $BB_1$ параллельно плоскости грани $DCC_1D_1$.
Ответ: плоскостям граней $ADD_1A_1$ и $DCC_1D_1$.