Страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.28. Прямая $a$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A$ и $B$ соответственно (рис. $4.20$). Прямая $b$, параллельная прямой $a$, пересекает плоскость $\alpha$ в точке $C$. Постройте точку пересечения прямой $b$ с плоскостью $\beta$.

Рис. $4.20$

Для построения точки пересечения прямой $b$ с плоскостью $\beta$, которую мы обозначим как $D$, воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей.

Алгоритм построения и обоснование:

1. Так как по условию задачи прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), они определяют единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$. В этой плоскости лежат обе прямые $a$ и $b$, а также точки $A$, $B$ и $C$.

2. Найдем линию пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $\alpha$. Точки $A$ и $C$ по условию лежат в плоскости $\alpha$. По построению они также лежат в плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая, проходящая через точки $A$ и $C$, является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$. Проведем прямую $AC$.

3. Рассмотрим три плоскости: $\alpha$, $\beta$ и построенную нами $\gamma$. Пусть $m$ — это линия пересечения исходных плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($m = \alpha \cap \beta$), которая видна на рисунке. Согласно теореме о трех пересекающихся плоскостях, три линии их попарного пересечения ($AC = \alpha \cap \gamma$, $m = \alpha \cap \beta$ и линия пересечения $l = \beta \cap \gamma$) либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны.

4. Найдем точку пересечения прямых $AC$ и $m$. Обе эти прямые лежат в плоскости $\alpha$, поэтому они пересекутся (если не параллельны). Обозначим эту точку пересечения как $P$. Эта точка $P$ будет общей для всех трех плоскостей.

5. Искомая точка $D$ должна лежать на прямой $b$ и в плоскости $\beta$. Поскольку $b \subset \gamma$, точка $D$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$. Мы обозначили эту линию как $l$. Из пункта 3 следует, что эта линия $l$ также проходит через точку $P$.

6. Точка $B$ по условию лежит в плоскости $\beta$, а также на прямой $a$, которая находится в плоскости $\gamma$. Следовательно, точка $B$ также принадлежит линии пересечения $l$. Таким образом, линия $l$ однозначно определяется двумя точками: $B$ и $P$. Проведем прямую $BP$.

7. Так как искомая точка $D$ лежит и на прямой $b$, и на прямой $l=BP$, она является точкой их пересечения. Найдем точку пересечения прямых $b$ и $BP$ — это и будет искомая точка $D$.

Примечание: В частном случае, если прямая $AC$ окажется параллельной прямой $m$, то, согласно теореме, линия пересечения $l$ будет параллельна им обеим. Тогда для построения нужно через точку $B$ провести прямую, параллельную $AC$, и найти ее точку пересечения с прямой $b$.

Ответ: Искомая точка $D$ — это точка пересечения прямой $b$ и прямой $BP$, где $P$ — точка пересечения прямой $AC$ с линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

4.29. Прямая $a$, принадлежащая плоскости $\alpha$, параллельна прямой $m$ — линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (рис. 4.21). Точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\beta$. Существуют ли на прямой $a$ такие точки $C$ и $D$, что $AC \parallel BD$?

Рис. 4.21

Для ответа на этот вопрос рассмотрим два случая, в зависимости от расположения прямой $AB$ относительно прямой $m$.

Предположим, что такие точки $C$ и $D$ на прямой $a$ существуют, что $AC \parallel BD$.

Если две прямые параллельны ($AC \parallel BD$), то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\gamma$. Следовательно, все четыре точки $A, B, C, D$ лежат в плоскости $\gamma$.

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\gamma$, то и вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\gamma$ ($AB \subset \gamma$).

Поскольку точки $C$ и $D$ лежат на прямой $a$, то и вся прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$).

Теперь у нас есть три плоскости: $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Рассмотрим линии их попарного пересечения:

• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $m$ (по условию): $\alpha \cap \beta = m$.
• Плоскости $\alpha$ и $\gamma$ пересекаются по прямой $a$, так как $a \subset \alpha$ (по условию) и $a \subset \gamma$ (по нашему построению). Таким образом, $\alpha \cap \gamma = a$.
• Плоскости $\beta$ и $\gamma$ пересекаются по прямой $AB$, так как $A, B \in \beta$ (по условию) и $AB \subset \gamma$ (по нашему построению). Таким образом, $\beta \cap \gamma = AB$.

Согласно теореме о трех плоскостях, если три плоскости попарно пересекаются, то их линии пересечения либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. В нашем случае это прямые $a, m$ и $AB$.

По условию задачи, прямая $a$ параллельна прямой $m$ ($a \parallel m$). Так как две из трех линий пересечения параллельны, то и третья линия должна быть им параллельна. Следовательно, $AB \parallel m \parallel a$.

Таким образом, мы доказали, что необходимым условием существования таких точек $C$ и $D$ является параллельность прямой $AB$ линии пересечения $m$.

Теперь докажем, что это условие является достаточным. Пусть прямая $AB$ параллельна прямой $m$ ($AB \parallel m$).

Так как по условию $a \parallel m$, а мы предположили, что $AB \parallel m$, то по свойству транзитивности параллельных прямых получаем, что $a \parallel AB$.

Две параллельные прямые ($a$ и $AB$) однозначно задают плоскость. Назовем ее $\gamma$. В этой плоскости мы имеем две параллельные прямые. Нам нужно найти на прямой $a$ такие точки $C$ и $D$, чтобы $AC \parallel BD$.

Выберем на прямой $a$ произвольную точку $C$. Построим в плоскости $\gamma$ четырехугольник $ABDC$ так, чтобы он был параллелограммом. Для этого нужно отложить от точки $C$ вектор $\vec{CD}$, равный вектору $\vec{BA}$. Так как вектор $\vec{BA}$ коллинеарен прямой $AB$, а прямая $AB$ параллельна прямой $a$, то вектор $\vec{CD}$ будет коллинеарен прямой $a$. Поскольку точка $C$ лежит на прямой $a$, то и точка $D$ также будет лежать на прямой $a$.

В построенном параллелограмме $ABDC$ противоположные стороны попарно параллельны. Значит, $AC \parallel BD$.

Таким образом, если $AB \parallel m$, то такие точки $C$ и $D$ существуют (причем их можно выбрать бесконечным числом способов). Если же прямая $AB$ не параллельна $m$, то такие точки не существуют.

Ответ: Такие точки $C$ и $D$ на прямой $a$ существуют тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, параллельна линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть $AB \parallel m$.

4.30. На грани $ADC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $M$ (рис. 4.22). Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $BD$, пересекает плоскость $ABC$.

Рис. 4.22

Для построения искомой точки пересечения воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. Пусть $l$ — прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $BD$. Нам нужно найти точку $P$, в которой прямая $l$ пересекает плоскость $ABC$, то есть $P = l \cap (ABC)$.

Для этого построим вспомогательную плоскость $\pi$, которая содержит прямую $l$. Поскольку прямая $l$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $BD$, то и вся плоскость $\pi$ должна содержать точку $M$ и быть параллельной $BD$. Наиболее удобным выбором для $\pi$ будет плоскость, проходящая через точку $M$ и прямую $BD$. Обозначим эту плоскость $(MBD)$.

Искомая точка $P$ принадлежит как прямой $l$, так и плоскости $ABC$. Так как прямая $l$ целиком лежит в плоскости $(MBD)$, то точка $P$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(MBD)$ и $(ABC)$. Найдем эту линию пересечения.

Точка $B$ очевидно принадлежит обеим плоскостям. Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим пересечение плоскости $(MBD)$ с плоскостью грани $ADC$, в которой лежит точка $M$. Линией пересечения плоскостей $(MBD)$ и $(ADC)$ является прямая $DM$, так как обе точки $D$ и $M$ принадлежат этим двум плоскостям.

Прямая $DM$ лежит в плоскости $ADC$ и пересекает ребро $AC$ (которое также лежит в этой плоскости) в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$. Таким образом, $K = DM \cap AC$.

Точка $K$ принадлежит прямой $AC$, следовательно, она принадлежит плоскости $ABC$. Точка $K$ также принадлежит прямой $DM$, следовательно, она принадлежит плоскости $(MBD)$. Это означает, что $K$ — вторая общая точка плоскостей $(MBD)$ и $(ABC)$.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $(MBD)$ и $(ABC)$ — это прямая, проходящая через их общие точки $B$ и $K$, то есть прямая $BK$.

Искомая точка $P$ должна лежать на прямой $BK$. Также, по условию, точка $P$ лежит на прямой $l$, которая проходит через $M$ параллельно $BD$. Обе прямые, $l$ и $BK$, лежат в одной плоскости $(MBD)$ (она же плоскость $(BDK)$). Так как в общем случае для тетраэдра прямые $BD$ и $BK$ не параллельны, то и прямая $l$ (параллельная $BD$) не будет параллельна $BK$. Следовательно, прямые $l$ и $BK$ пересекаются. Точка их пересечения и является искомой точкой $P$.

На основе этих рассуждений можно сформулировать следующий алгоритм построения.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки $D$ и $M$ и провести прямую $DM$.
2. Найти точку пересечения прямой $DM$ с прямой $AC$. Обозначить эту точку $K$.
3. Провести прямую через точки $B$ и $K$.
4. В плоскости $(BDK)$ через точку $M$ провести прямую $l$ параллельно прямой $BD$.
5. Точка пересечения прямой $l$ с прямой $BK$ является искомой точкой $P$.

Обоснование:

Построенная точка $P$ удовлетворяет условиям задачи. Во-первых, она лежит на прямой $l$, проходящей через точку $M$ параллельно $BD$ (согласно шагу 4 построения). Во-вторых, она лежит в плоскости $ABC$. Это следует из того, что точка $P$ лежит на прямой $BK$ (согласно шагу 5), а прямая $BK$ целиком лежит в плоскости $ABC$, так как обе точки, $B$ и $K$ (где $K \in AC$), принадлежат плоскости $ABC$.

Ответ: Точка $P$, построенная согласно приведенному алгоритму, является искомой точкой пересечения. Алгоритм построения: 1. Найти точку $K$ как пересечение прямых $DM$ и $AC$. 2. Провести прямую $BK$. 3. Через точку $M$ провести прямую, параллельную $BD$. 4. Искомая точка $P$ является пересечением прямой из шага 3 и прямой $BK$.

4.31. На грани $ADD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $K$ (рис. 4.23).

Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $DB$, пересекает плоскость $ABB_1$.

Рис. 4.23

Пусть $l$ — прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $DB$. Нам нужно найти точку пересечения прямой $l$ с плоскостью грани $ABB_1A_1$. Обозначим эту точку как $P$.

Построение

1. Построим проекцию точки $K$ на плоскость основания $ABCD$ параллельно боковому ребру $AA_1$. Так как точка $K$ принадлежит грани $ADD_1A_1$, ее проекция будет лежать на ребре $AD$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с ребром $AD$. Обозначим точку пересечения $K_{AD}$.
2. В плоскости основания $ABCD$ проведем через точку $K_{AD}$ прямую, параллельную диагонали $DB$.
3. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $P_{AB}$.
4. Искомая точка $P$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$ и ее проекцией на плоскость $ABCD$ является точка $P_{AB}$. Кроме того, прямая $KP$ должна быть параллельна $DB$, а значит, и прямой $K_{AD}P_{AB}$. Это возможно, если $P$ находится на той же "высоте", что и точка $K$. Для этого проведем через точку $K$ прямую, параллельную ребру $AD$, до пересечения с ребром $AA_1$. Обозначим точку пересечения $K_{A_1}$.
5. Через точку $P_{AB}$ проведем прямую, параллельную ребру $AA_1$. Через точку $K_{A_1}$ проведем прямую, параллельную ребру $AB$. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $P$.

Обоснование

Введем систему координат с началом в точке $A$, направив оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$. Вектор $\vec{DB}$ имеет координаты $(a, -a, 0)$.

Точка $K$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$ (плоскость $x=0$), поэтому ее координаты $K(0, y_k, z_k)$, где $0 \le y_k \le a$ и $0 \le z_k \le a$.

Прямая $l$, проходящая через $K$ параллельно $\vec{DB}$, задается уравнением: $(x,y,z) = (0, y_k, z_k) + t(a, -a, 0) = (ta, y_k - ta, z_k)$.

Плоскость грани $ABB_1A_1$ задается уравнением $y=0$. Чтобы найти точку пересечения $P$, приравняем координату $y$ в уравнении прямой к нулю:

$y_k - ta = 0 \Rightarrow t = \frac{y_k}{a}$

Подставим найденное значение $t$ обратно в уравнение прямой, чтобы найти координаты точки $P$:

$P = \left(a \cdot \frac{y_k}{a}, y_k - a \cdot \frac{y_k}{a}, z_k\right) = (y_k, 0, z_k)$.

Теперь сопоставим это с нашим построением:

• Шаг 1: Проекция $K(0, y_k, z_k)$ на $AD$ (ось $Oy$) - это точка $K_{AD}(0, y_k, 0)$. Длина отрезка $AK_{AD}$ равна $y_k$.
• Шаги 2 и 3: В плоскости $z=0$ проводим прямую через $K_{AD}$ параллельно $DB$. Треугольники $\triangle AK_{AD}P_{AB}$ и $\triangle ADB$ подобны (по двум углам, $\angle K_{AD}AP_{AB}$ общий, $\angle AK_{AD}P_{AB} = \angle ADB$ как соответственные при параллельных $K_{AD}P_{AB}$ и $DB$ и секущей $AD$). Следовательно, $\frac{AP_{AB}}{AB} = \frac{AK_{AD}}{AD}$. Так как $AB=AD=a$, получаем $AP_{AB} = AK_{AD} = y_k$. Точка $P_{AB}$ имеет координаты $(y_k, 0, 0)$.
• Шаг 4: Проекция $K(0, y_k, z_k)$ на $AA_1$ (ось $Oz$) - это точка $K_{A_1}(0, 0, z_k)$. Длина отрезка $AK_{A_1}$ равна $z_k$.
• Шаг 5: Точка $P$ строится в плоскости $y=0$ как вершина прямоугольника $AP_{AB}PK_{A_1}$. Ее координаты будут $(AP_{AB}, 0, AK_{A_1}) = (y_k, 0, z_k)$.

Результаты, полученные аналитически и геометрическим построением, совпадают. Следовательно, построение верное.

Ответ: Искомая точка $P$ построена в соответствии с приведенным алгоритмом.

4.32. На рёбрах $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$, $N$ и $K$. Постройте прямую, проходящую через точку $K$ и пересекающую прямые $AN$ и $CM$.

Искомая прямая является линией пересечения двух плоскостей: плоскости, проходящей через точку $K$ и прямую $AN$, и плоскости, проходящей через точку $K$ и прямую $CM$. Обозначим эти плоскости как $(ANK)$ и $(CMK)$ соответственно. Для построения прямой, являющейся их пересечением, достаточно найти две общие точки этих плоскостей. Одной такой точкой является точка $K$. Второй точкой будет точка пересечения прямой $AN$ с плоскостью $(CMK)$ (или прямой $CM$ с плоскостью $(ANK)$). Построим точку пересечения прямой $AN$ с плоскостью $(CMK)$.

1. Строим плоскость $(CMK)$. Эта плоскость однозначно задается тремя точками $C$, $M$ и $K$, которые, в общем случае, не лежат на одной прямой.
2. Находим линию пересечения плоскости $(CMK)$ с плоскостью грани $(ABD)$. Прямая $AN$ лежит в плоскости $(ABD)$.
   • Точка $M$ принадлежит ребру $AD$, поэтому $M$ лежит в плоскости $(ABD)$. Также $M$ является одной из точек, определяющих плоскость $(CMK)$. Следовательно, точка $M$ лежит на линии пересечения плоскостей $(CMK)$ и $(ABD)$.
   • Чтобы найти вторую точку, найдём точку пересечения какой-либо прямой из плоскости $(CMK)$ с плоскостью $(ABD)$. Возьмём прямую $CK$. Прямая $CK$ лежит в плоскости грани $(BCD)$. Плоскость $(BCD)$ пересекается с плоскостью $(ABD)$ по прямой $BD$.
   • В плоскости грани $(BCD)$ строим точку пересечения прямых $CK$ и $BD$. Обозначим эту точку $F$. Таким образом, $F = CK \cap BD$.
   • Точка $F$ принадлежит прямой $CK$ и, следовательно, плоскости $(CMK)$. Точка $F$ принадлежит прямой $BD$ и, следовательно, плоскости $(ABD)$. Значит, $F$ — это вторая точка на линии пересечения плоскостей $(CMK)$ и $(ABD)$.
   • Соединив точки $M$ и $F$, получаем прямую $MF$, которая является линией пересечения плоскостей $(CMK)$ и $(ABD)$.
3. Находим точку пересечения прямой $AN$ с плоскостью $(CMK)$.
   • Прямые $AN$ и $MF$ обе лежат в одной плоскости — $(ABD)$. В общем случае они пересекаются. Найдём их точку пересечения и обозначим её $P$. Таким образом, $P = AN \cap MF$.
   • Точка $P$ принадлежит прямой $AN$.
   • Точка $P$ принадлежит прямой $MF$, которая лежит в плоскости $(CMK)$. Следовательно, точка $P$ принадлежит плоскости $(CMK)$.
   • Значит, $P$ — это точка пересечения прямой $AN$ с плоскостью $(CMK)$.
4. Строим искомую прямую.
   • Искомая прямая должна проходить через точку $K$ и пересекать прямую $AN$. Мы нашли такую точку пересечения — $P$.
   • Проводим прямую через точки $K$ и $P$. Прямая $KP$ является искомой.

Проверим, что построенная прямая $KP$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Прямая $KP$ проходит через точку $K$ по построению.
2. Прямая $KP$ пересекает прямую $AN$ в точке $P$ по построению.
3. Докажем, что прямая $KP$ пересекает прямую $CM$.
   • Точка $K$ по условию лежит на ребре $BC$, поэтому $K \in (CMK)$.
   • Точка $P$ была найдена как $P = AN \cap MF$. Так как прямая $MF$ является линией пересечения плоскостей $(CMK)$ и $(ABD)$, то $MF \subset (CMK)$. Следовательно, $P \in (CMK)$.
   • Поскольку обе точки, $K$ и $P$, лежат в плоскости $(CMK)$, то и вся прямая $KP$ лежит в этой плоскости.
   • Прямая $CM$ по определению также лежит в плоскости $(CMK)$.
   • Так как обе прямые, $KP$ и $CM$, лежат в одной плоскости $(CMK)$, они либо пересекаются, либо параллельны. В общем случае расположения точек прямые пересекаются.

Таким образом, построенная прямая $KP$ является искомой.

Ответ: Искомая прямая — это прямая $KP$, где $P = AN \cap MF$, а $F = CK \cap BD$.