Страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.5. Верно ли утверждение:

1) две прямые, не являющиеся параллельными, имеют общую точку;

2) две прямые, не являющиеся скрещивающимися, лежат в одной плоскости;

3) две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются;

4) две прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны?

1) две прямые, не являющиеся параллельными, имеют общую точку;

Данное утверждение неверно. В трехмерном пространстве две прямые, которые не параллельны, могут либо пересекаться, либо быть скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Например, в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $AA_1$ и $BC$ не параллельны, но и не пересекаются. Они являются скрещивающимися.

Ответ: Неверно.

2) две прямые, не являющиеся скрещивающимися, лежат в одной плоскости;

Данное утверждение верно. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Соответственно, если две прямые не являются скрещивающимися, это означает, что для них существует плоскость, в которой они обе лежат. В этой плоскости они могут быть либо параллельными, либо пересекающимися.

Ответ: Верно.

3) две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются;

Данное утверждение неверно. Две различные прямые, лежащие в одной плоскости, могут быть параллельными. Параллельные прямые по определению не имеют ни одной общей точки, то есть не пересекаются.

Ответ: Неверно.

4) две прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны?

Данное утверждение верно. Это является определением скрещивающихся прямых. Взаимное расположение двух прямых в пространстве исчерпывается тремя вариантами: они пересекаются, они параллельны, они скрещиваются. Если исключить первые два варианта (прямые не пересекаются и не параллельны), то остается только третий — они скрещиваются.

Ответ: Верно.

4.6. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 4.16). Докажите, что прямые $AA_1$ и $BC$ — скрещивающиеся.

Рис. 4.16

Чтобы доказать, что прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых.

Признак скрещивающихся прямых гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Рассмотрим плоскость нижнего основания куба — плоскость $(ABC)$.

1. Прямая $BC$ полностью лежит в этой плоскости $(ABC)$, так как точки $B$ и $C$ являются вершинами основания.

2. Прямая $AA_1$ является боковым ребром куба, перпендикулярным основанию. Она пересекает плоскость $(ABC)$ в точке $A$.

3. Точка пересечения $A$ не принадлежит прямой $BC$. В основании куба лежит квадрат $ABCD$, поэтому его вершины $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой.

Таким образом, выполнены все условия признака: прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AA_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой $BC$. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися.

Ответ: Утверждение доказано.

4.7. Треугольники $ABC$ и $ADB$ лежат в разных плоскостях (рис. 4.17). Каково взаимное расположение прямых $AD$ и $BC$? Ответ обоснуйте.

Рис. 4.17

Для определения взаимного расположения прямых $AD$ и $BC$ рассмотрим плоскости, в которых они лежат.

1. Прямая $AD$ принадлежит плоскости треугольника $ADB$, так как точки $A$ и $D$ лежат в этой плоскости. Обозначим эту плоскость как $\alpha = (ADB)$.

2. Прямая $BC$ принадлежит плоскости треугольника $ABC$, так как точки $B$ и $C$ лежат в этой плоскости. Обозначим эту плоскость как $\beta = (ABC)$.

По условию задачи, треугольники $ABC$ и $ADB$ лежат в разных плоскостях, следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не совпадают.

Далее воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Рассмотрим прямую $BC$ и плоскость $(ADB)$. Прямая $BC$ пересекает плоскость $(ADB)$ в точке $B$. Точка $B$ не принадлежит прямой $AD$ (в противном случае точки $A, B, D$ лежали бы на одной прямой, что невозможно для треугольника $ADB$).

Таким образом, прямая $BC$ пересекает плоскость $(ADB)$, в которой лежит прямая $AD$, в точке $B$, не принадлежащей прямой $AD$. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися.

Альтернативное обоснование (методом от противного):

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

- Предположим, что прямые $AD$ и $BC$ пересекаются или параллельны. В обоих случаях они должны лежать в одной плоскости, назовем ее $\gamma$.

- Если прямые $AD$ и $BC$ лежат в плоскости $\gamma$, то все четыре точки $A$, $D$, $B$ и $C$ принадлежат этой плоскости $\gamma$.

- Но тогда получается, что точки $A, B, C$ (вершины треугольника $ABC$) и точки $A, B, D$ (вершины треугольника $ADB$) лежат в одной и той же плоскости $\gamma$. Это означает, что плоскости треугольников $(ABC)$ и $(ADB)$ совпадают.

- Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что треугольники $ABC$ и $ADB$ лежат в разных плоскостях.

- Следовательно, наше предположение неверно. Прямые $AD$ и $BC$ не могут пересекаться или быть параллельными, а значит, они являются скрещивающимися.

Ответ: прямые $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися.

4.8. Через точку, не лежащую на прямой $a$, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой $a$. Докажите, что хотя бы одна из этих прямых и прямая $a$ являются скрещивающимися.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть нам даны прямая $a$, точка $M$, не принадлежащая прямой $a$ ($M \notin a$), и две различные прямые $b$ и $c$, которые проходят через точку $M$ ($M \in b$, $M \in c$, $b \neq c$). По условию задачи, прямые $b$ и $c$ не имеют общих точек с прямой $a$. Это означает, что они не пересекают прямую $a$: $b \cap a = \emptyset$ и $c \cap a = \emptyset$.

Требуется доказать, что хотя бы одна из прямых ($b$ или $c$) является скрещивающейся с прямой $a$.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве, не имеющих общих точек, может быть двух видов: они либо параллельны, либо скрещиваются.

Сделаем предположение, противоположное тому, что требуется доказать: предположим, что ни одна из прямых $b$ и $c$ не является скрещивающейся с прямой $a$.

Рассмотрим, что следует из нашего предположения:
1. Прямая $b$ не имеет общих точек с прямой $a$ и, по нашему предположению, не скрещивается с ней. Единственный оставшийся вариант их взаимного расположения — параллельность. Следовательно, $b \parallel a$.
2. Аналогично, прямая $c$ не имеет общих точек с прямой $a$ и не скрещивается с ней. Следовательно, $c \parallel a$.

Таким образом, наше предположение привело нас к следующей ситуации: через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходят две различные прямые $b$ и $c$, каждая из которых параллельна прямой $a$.

Однако это напрямую противоречит fundamentalной аксиоме стереометрии (следствию из пятого постулата Евклида): через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Поскольку мы пришли к противоречию с аксиомой, наше исходное предположение неверно. Следовательно, утверждение "ни одна из прямых $b$ и $c$ не скрещивается с прямой $a$" является ложным. Это означает, что его отрицание истинно, а именно: "хотя бы одна из прямых $b$ или $c$ скрещивается с прямой $a$".

Что и требовалось доказать.

Ответ: Предположение о том, что обе прямые ($b$ и $c$) параллельны прямой $a$, приводит к противоречию с аксиомой о существовании единственной прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. Поскольку по условию прямые $b$ и $c$ не пересекают прямую $a$, то хотя бы одна из них обязана быть с ней скрещивающейся.

4.9. Прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, точки $C$ и $D$ — прямой $b$. Каково взаимное расположение прямых $AC$ и $BD$? Ответ обоснуйте.

Для того чтобы определить взаимное расположение прямых $AC$ и $BD$, воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися. Это означает, что они лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются, либо параллельны. Обозначим эту плоскость как $\alpha$.

Если прямые $AC$ и $BD$ лежат в плоскости $\alpha$, то все точки этих прямых, в частности точки $A$, $C$, $B$ и $D$, также принадлежат этой плоскости $\alpha$.

Рассмотрим прямую $a$. По условию, точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости), прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Аналогично рассмотрим прямую $b$. По условию, точки $C$ и $D$ принадлежат прямой $b$. Так как точки $C$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$, то по той же аксиоме прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Таким образом, из нашего предположения следует, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Однако это напрямую противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $AC$ и $BD$ не могут лежать в одной плоскости, то есть они не могут ни пересекаться, ни быть параллельными.

Две прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $AC$ и $BD$ являются скрещивающимися.

4.10. Прямые $a$ и $b$ параллельны. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, точки $C$ и $D$ — прямой $b$. Каково взаимное расположение прямых $AC$ и $BD$? Ответ обоснуйте.

Поскольку прямые a и b параллельны ($a \parallel b$), все четыре точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Две различные прямые в плоскости, в данном случае AC и BD, могут либо пересекаться в одной точке, либо быть параллельными. Случай совпадения прямых AC и BD исключен, так как это означало бы, что все четыре точки лежат на одной прямой, что противоречит условию о двух различных параллельных прямых a и b.

Для анализа взаимного расположения прямых AC и BD рассмотрим четырехугольник ABDC. Его стороны AB и CD лежат на параллельных прямых a и b соответственно. Следовательно, четырехугольник ABDC является трапецией с основаниями AB и CD. Прямые AC и BD являются прямыми, содержащими боковые стороны этой трапеции.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Четырехугольник ABDC является параллелограммом. Это происходит, когда его основания AB и CD не только параллельны, но и равны по длине, а также одинаково направлены. В терминах векторов это условие записывается как $\vec{AB} = \vec{CD}$. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, поэтому в этом случае боковые стороны AC и BD также будут параллельны ($AC \parallel BD$).

2. Четырехугольник ABDC не является параллелограммом. Это происходит, когда условие $\vec{AB} = \vec{CD}$ не выполняется (то есть отрезки AB и CD имеют разную длину или противоположные направления). В этом случае ABDC — это трапеция, у которой боковые стороны AC и BD не параллельны. Так как прямые AC и BD лежат в одной плоскости и не параллельны, они должны пересекаться.

Таким образом, взаимное расположение прямых AC и BD полностью определяется взаимным расположением точек A, B на прямой a и точек C, D на прямой b.

Ответ: Прямые AC и BD могут быть параллельными или пересекаться. Прямые AC и BD параллельны тогда и только тогда, когда векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны. Во всех остальных случаях прямые AC и BD пересекаются.