Страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.21. Точка $M$ не принадлежит ни одной из скрещивающихся прямых $a$ и $b$. Можно ли через точку $M$ провести две прямые, каждая из которых будет пересекать и прямую $a$, и прямую $b$?

Нет, через точку $M$ нельзя провести две такие прямые. Докажем это методом от противного.

Предположим, что существуют две различные прямые, $c_1$ и $c_2$, каждая из которых проходит через точку $M$ и пересекает скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.

Рассмотрим прямую $c_1$.

1. Так как прямая $c_1$ проходит через точку $M$ и пересекает прямую $a$, то прямая $c_1$ и прямая $a$ лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\alpha$. Эта плоскость однозначно определяется точкой $M$ и прямой $a$, поскольку точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$). Следовательно, прямая $c_1$ принадлежит плоскости $\alpha$.

2. Аналогично, так как прямая $c_1$ проходит через точку $M$ и пересекает прямую $b$, она принадлежит плоскости $\beta$, которая однозначно определяется точкой $M$ и прямой $b$ ($M \notin b$).

Таким образом, прямая $c_1$ является линией пересечения двух плоскостей: $\alpha$ и $\beta$.

Теперь рассмотрим прямую $c_2$. По тем же самым соображениям, прямая $c_2$ также должна принадлежать и плоскости $\alpha$ (так как проходит через $M$ и пересекает $a$), и плоскости $\beta$ (так как проходит через $M$ и пересекает $b$). Значит, $c_2$ также является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Так как прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, они не лежат в одной плоскости. Это означает, что плоскости $\alpha=(M, a)$ и $\beta=(M, b)$ не совпадают, то есть являются различными.

Из аксиомы стереометрии известно, что две различные плоскости пересекаются по единственной прямой.

Отсюда следует, что прямые $c_1$ и $c_2$ должны совпадать, так как обе являются линией пересечения одних и тех же двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что $c_1$ и $c_2$ — различные прямые.

Следовательно, наше предположение неверно, и через точку $M$ можно провести не более одной прямой, пересекающей обе скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Провести две такие различные прямые невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.

4.22. Точка $M$ не принадлежит ни одной из параллельных прямых $a$ и $b$. Известно, что через точку $M$ можно провести прямую, пересекающую каждую из прямых $a$ и $b$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ и точка $M$ лежат в одной плоскости.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и точка $M$, не принадлежащая ни одной из этих прямых ($M \notin a$ и $M \notin b$). По условию задачи, существует прямая $c$, которая проходит через точку $M$ ($M \in c$) и пересекает прямые $a$ и $b$. Обозначим точки пересечения как $A$ и $B$ соответственно, то есть $A = c \cap a$ и $B = c \cap b$.

1. Согласно аксиоме стереометрии, через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Так как по условию прямые $a$ и $b$ параллельны, они определяют некоторую плоскость $\alpha$. Это означает, что обе прямые полностью лежат в этой плоскости: $a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$.

2. Рассмотрим точку пересечения $A$. Так как точка $A$ принадлежит прямой $a$ ($A \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), следовательно, точка $A$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).

3. Аналогично рассмотрим точку пересечения $B$. Так как точка $B$ принадлежит прямой $b$ ($B \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), следовательно, точка $B$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

4. Таким образом, мы имеем две различные точки $A$ и $B$, принадлежащие прямой $c$, которые одновременно лежат в плоскости $\alpha$. Согласно следствию из аксиом стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

5. По условию, точка $M$ принадлежит прямой $c$ ($M \in c$). Поскольку мы доказали, что вся прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ должна лежать в этой же плоскости ($M \in \alpha$).

В итоге мы установили, что прямые $a$ и $b$, а также точка $M$, принадлежат одной и той же плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $a$ и $b$ и точка $M$ лежат в одной плоскости.

4.23. Через концы отрезка $AB$, пересекающего плоскость $\alpha$, и его середину $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно (рис. 4.19). Найдите отрезок $CC_1$, если $AA_1 = 16$ см, $BB_1 = 8$ см.

Рис. 4.19

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны по условию, а точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой (так как $C$ — середина отрезка $AB$), то все эти три прямые и отрезок $AB$ лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\beta$.

Плоскость $\beta$ пересекает данную плоскость $\alpha$ по прямой. Так как точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ являются точками пересечения прямых $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ с плоскостью $\alpha$, они лежат на этой прямой пересечения. Таким образом, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ также лежат на одной прямой.

Рассмотрим фигуру $AA_1B_1B$, лежащую в плоскости $\beta$. Так как прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, этот четырехугольник является трапецией, где $AA_1$ и $BB_1$ — основания, а $AB$ и $A_1B_1$ — боковые стороны.

Из условия, что отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$, следует, что точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$. Это означает, что основания трапеции $AA_1$ и $BB_1$ расположены по разные стороны от прямой $A_1B_1$.

Точка $C$ является серединой боковой стороны $AB$. Отрезок $CC_1$ параллелен основаниям $AA_1$ и $BB_1$ и соединяет середину боковой стороны $AB$ с точкой $C_1$ на другой боковой стороне $A_1B_1$. Согласно теореме Фалеса, точка $C_1$ является серединой боковой стороны $A_1B_1$. Таким образом, отрезок $CC_1$ является средней линией трапеции $AA_1B_1B$.

Для случая, когда основания трапеции лежат по разные стороны от прямой, содержащей другую боковую сторону, длина средней линии равна полуразности длин оснований. Пусть длины оснований равны $a = AA_1 = 16$ см и $b = BB_1 = 8$ см. Тогда длина $CC_1$ вычисляется по формуле:

$CC_1 = \frac{|a - b|}{2}$

Подставим заданные значения в формулу:

$CC_1 = \frac{|16 - 8|}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

4.24. На отрезке $AB$, пересекающем плоскость $\alpha$, отмечена точка $C$ так, что $AC : BC = 5 : 3$. Через точки $A$, $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $AA_1$, если $BB_1 = 10$ см, $CC_1 = 4$ см и точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$.

Пусть данные параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ вместе с прямой, на которой лежат точки $A, B, C$, определяют плоскость $\beta$. Пересечением плоскости $\beta$ с плоскостью $\alpha$ является прямая, на которой лежат точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Таким образом, мы можем рассматривать всю геометрическую конструкцию в одной плоскости $\beta$.

По условию, отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$. Пусть точка $O$ — точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $\alpha$. Следовательно, точка $O$ лежит на прямой $A_1B_1C_1$.

Также дано, что точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Это означает, что точка пересечения $O$ лежит на отрезке $AC$.

Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AB$, а точка $O$ лежит на отрезке $AC$, то порядок точек на прямой следующий: $A-O-C-B$. Из этого следует, что точки $C$ и $B$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, а точка $A$ — по другую.

Рассмотрим в плоскости $\beta$ треугольники $\triangle AOA_1$ и $\triangle COC_1$. Угол $\angle AOA_1$ равен углу $\angle COC_1$ как вертикальные. Угол $\angle A_1AO$ равен углу $\angle C_1CO$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AA_1$ и $CC_1$ секущей $AB$. Следовательно, $\triangle AOA_1 \sim \triangle COC_1$ по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:$$ \frac{AA_1}{CC_1} = \frac{AO}{CO} $$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OCC_1$ и $\triangle OBB_1$. Угол при вершине $O$ является общим для обоих треугольников. Угол $\angle OC_1C$ равен углу $\angle OB_1B$ как соответственные углы при пересечении параллельных прямых $CC_1$ и $BB_1$ секущей $A_1B_1$. Следовательно, $\triangle OCC_1 \sim \triangle OBB_1$ по двум углам. Из их подобия следует:$$ \frac{CC_1}{BB_1} = \frac{OC}{OB} $$

Из полученных пропорций выразим $AO$ и $OB$ через $OC$. Пусть $AA_1 = x$. Нам дано, что $CC_1 = 4$ см и $BB_1 = 10$ см.$$ \frac{x}{4} = \frac{AO}{CO} \implies AO = CO \cdot \frac{x}{4} $$$$ \frac{4}{10} = \frac{OC}{OB} \implies OB = OC \cdot \frac{10}{4} = OC \cdot \frac{5}{2} $$

Из расположения точек $A-O-C-B$ на прямой, длины отрезков $AC$ и $BC$ можно выразить как:$$ AC = AO + OC $$$$ BC = OB - OC $$

Подставим выражения для $AO$ и $OB$:$$ AC = CO \cdot \frac{x}{4} + CO = CO \left( \frac{x}{4} + 1 \right) = CO \frac{x+4}{4} $$$$ BC = OC \cdot \frac{5}{2} - OC = CO \left( \frac{5}{2} - 1 \right) = CO \frac{3}{2} $$

По условию задачи, $AC : BC = 5 : 3$, или $\frac{AC}{BC} = \frac{5}{3}$. Составим уравнение:$$ \frac{CO \frac{x+4}{4}}{CO \frac{3}{2}} = \frac{5}{3} $$Сократив $CO$ (так как $C \neq O$, поскольку $CC_1 = 4 \neq 0$), получим:$$ \frac{\frac{x+4}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{3} $$$$ \frac{x+4}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{3} $$$$ \frac{x+4}{6} = \frac{5}{3} $$Умножим обе части уравнения на 6:$$ x+4 = \frac{5}{3} \cdot 6 $$$$ x+4 = 10 $$$$ x = 6 $$Таким образом, длина отрезка $AA_1$ равна 6 см.

Ответ: 6 см.

4.25. Треугольник $ABC$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Отрезок $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $O$ — середина отрезка $BM$. Через точки $A, B, C, M$ и $O$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1, M_1$ и $O_1$ соответственно. Найдите отрезок $BB_1$, если $AA_1 = 17$ см, $CC_1 = 13$ см, $OO_1 = 12$ см.

Поскольку прямые, проведенные через точки $A$, $B$, $C$, $M$ и $O$, параллельны и пересекают плоскость $α$, отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $MM_1$ и $OO_1$ также параллельны друг другу. Это позволяет нам рассматривать пространственные фигуры, образованные этими точками и отрезками, как трапеции.

1. Нахождение длины отрезка $MM_1$

Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. Так как прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельны, то $ACC_1A_1$ является трапецией с основаниями $AA_1$ и $CC_1$.
По условию, $BM$ — медиана треугольника $ABC$, значит, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Так как параллельные прямые $AA_1$, $MM_1$, $CC_1$ пересекают прямые $AC$ и $A_1C_1$, то по теореме Фалеса точка $M_1$ будет серединой отрезка $A_1C_1$.
Следовательно, отрезок $MM_1$ является средней линией трапеции $ACC_1A_1$. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Используя данные из условия $AA_1 = 17$ см и $CC_1 = 13$ см, получаем:
$MM_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

2. Нахождение длины отрезка $BB_1$

Теперь рассмотрим четырехугольник $BMM_1B_1$. Поскольку прямые $BB_1$ и $MM_1$ параллельны, $BMM_1B_1$ является трапецией с основаниями $BB_1$ и $MM_1$.
По условию, точка $O$ — середина отрезка $BM$. Аналогично предыдущему шагу, по теореме Фалеса точка $O_1$ является серединой отрезка $B_1M_1$.
Таким образом, отрезок $OO_1$ является средней линией трапеции $BMM_1B_1$. Его длина равна полусумме длин оснований $BB_1$ и $MM_1$.
$OO_1 = \frac{BB_1 + MM_1}{2}$
Мы знаем, что $OO_1 = 12$ см и мы вычислили, что $MM_1 = 15$ см. Подставим эти значения в формулу и найдем $BB_1$:
$12 = \frac{BB_1 + 15}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$24 = BB_1 + 15$
Отсюда находим $BB_1$:
$BB_1 = 24 - 15 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

4.26. Ребро $AB$ тетраэдра $DABC$ равно 6 см. Найдите расстояние между точками пересечения медиан граней $ADC$ и $BDC$.

Пусть $M_1$ — точка пересечения медиан грани $ADC$, а $M_2$ — точка пересечения медиан грани $BDC$. Точка пересечения медиан треугольника является его центроидом.
Рассмотрим грань $ADC$. Проведем медиану $AK$ к стороне $DC$, где $K$ — середина ребра $DC$. Точка $M_1$ лежит на медиане $AK$. По свойству медиан, центроид делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, $AM_1 : M_1K = 2:1$, откуда следует, что $KM_1 = \frac{1}{3}AK$.
Рассмотрим грань $BDC$. Проведем медиану $BK$ к стороне $DC$. Точка $M_2$ лежит на медиане $BK$. Аналогично, $BM_2 : M_2K = 2:1$, откуда следует, что $KM_2 = \frac{1}{3}BK$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Точки $M_1$ и $M_2$ лежат на его сторонах $AK$ и $BK$ соответственно. Так как $\frac{KM_1}{AK} = \frac{KM_2}{BK} = \frac{1}{3}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса, отрезок $M_1M_2$ параллелен стороне $AB$.
Треугольник $KM_1M_2$ подобен треугольнику $KAB$ по двум сторонам и углу между ними (угол при вершине $K$ у них общий, а стороны пропорциональны: $\frac{KM_1}{KA} = \frac{KM_2}{KB} = \frac{1}{3}$).
Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия:
$\frac{M_1M_2}{AB} = \frac{1}{3}$
По условию задачи, длина ребра $AB$ равна 6 см. Найдем искомое расстояние $M_1M_2$:
$M_1M_2 = \frac{1}{3} \times AB = \frac{1}{3} \times 6 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

4.27. Основанием пирамиды $MABCD$ является квадрат $ABCD$, сторона которого равна 12 см. Найдите расстояние между точками пересечения медиан граней $AMD$ и $DMC$.

Пусть $O_1$ — точка пересечения медиан грани $AMD$, а $O_2$ — точка пересечения медиан грани $DMC$. Точка пересечения медиан треугольника, также называемая центроидом, делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Рассмотрим грань $AMD$, которая является треугольником. Проведем медиану $MK$ из вершины $M$ к стороне $AD$. Точка $K$ является серединой стороны $AD$. Точка $O_1$ лежит на отрезке $MK$, и по свойству медиан:
$MO_1 : O_1K = 2:1$, из чего следует, что $MO_1 = \frac{2}{3} MK$.

Аналогично для грани $DMC$. Проведем медиану $ML$ из вершины $M$ к стороне $DC$. Точка $L$ является серединой стороны $DC$. Точка $O_2$ лежит на отрезке $ML$, и по свойству медиан:
$MO_2 : O_2L = 2:1$, из чего следует, что $MO_2 = \frac{2}{3} ML$.

Рассмотрим треугольник $MKL$. Точки $O_1$ и $O_2$ лежат на его сторонах $MK$ и $ML$ соответственно. Так как $\frac{MO_1}{MK} = \frac{MO_2}{ML} = \frac{2}{3}$, то треугольник $MO_1O_2$ подобен треугольнику $MKL$ по второму признаку подобия (угол при вершине $M$ у них общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия:
$\frac{O_1O_2}{KL} = \frac{2}{3}$
Следовательно, искомое расстояние $O_1O_2 = \frac{2}{3} KL$.

Теперь необходимо найти длину отрезка $KL$. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной 12 см. Точка $K$ — середина $AD$, а точка $L$ — середина $DC$. Рассмотрим треугольник $ADC$ в плоскости основания. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AD$ и $DC$, а значит, $KL$ является средней линией треугольника $ADC$.

По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине:
$KL = \frac{1}{2} AC$.

Найдем длину диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ADC$:
$AC^2 = AD^2 + DC^2$
$AC^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$
$AC = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$ см.

Теперь можем найти длину средней линии $KL$:
$KL = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Наконец, найдем искомое расстояние $O_1O_2$:
$O_1O_2 = \frac{2}{3} KL = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{12\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.