Номер 4.21, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.21. Точка $M$ не принадлежит ни одной из скрещивающихся прямых $a$ и $b$. Можно ли через точку $M$ провести две прямые, каждая из которых будет пересекать и прямую $a$, и прямую $b$?

Нет, через точку $M$ нельзя провести две такие прямые. Докажем это методом от противного.

Предположим, что существуют две различные прямые, $c_1$ и $c_2$, каждая из которых проходит через точку $M$ и пересекает скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.

Рассмотрим прямую $c_1$.

1. Так как прямая $c_1$ проходит через точку $M$ и пересекает прямую $a$, то прямая $c_1$ и прямая $a$ лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\alpha$. Эта плоскость однозначно определяется точкой $M$ и прямой $a$, поскольку точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$). Следовательно, прямая $c_1$ принадлежит плоскости $\alpha$.

2. Аналогично, так как прямая $c_1$ проходит через точку $M$ и пересекает прямую $b$, она принадлежит плоскости $\beta$, которая однозначно определяется точкой $M$ и прямой $b$ ($M \notin b$).

Таким образом, прямая $c_1$ является линией пересечения двух плоскостей: $\alpha$ и $\beta$.

Теперь рассмотрим прямую $c_2$. По тем же самым соображениям, прямая $c_2$ также должна принадлежать и плоскости $\alpha$ (так как проходит через $M$ и пересекает $a$), и плоскости $\beta$ (так как проходит через $M$ и пересекает $b$). Значит, $c_2$ также является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Так как прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, они не лежат в одной плоскости. Это означает, что плоскости $\alpha=(M, a)$ и $\beta=(M, b)$ не совпадают, то есть являются различными.

Из аксиомы стереометрии известно, что две различные плоскости пересекаются по единственной прямой.

Отсюда следует, что прямые $c_1$ и $c_2$ должны совпадать, так как обе являются линией пересечения одних и тех же двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что $c_1$ и $c_2$ — различные прямые.

Следовательно, наше предположение неверно, и через точку $M$ можно провести не более одной прямой, пересекающей обе скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Провести две такие различные прямые невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.