Номер 4.19, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.19. Известно, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся и прямые $b$ и $c$ скрещивающиеся. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся?

Нет, утверждать, что прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся, нельзя. Отношение «быть скрещивающимися» для прямых в пространстве не является транзитивным. Это означает, что из того, что прямая $a$ скрещивается с прямой $b$, а прямая $b$ скрещивается с прямой $c$, не обязательно следует, что прямая $a$ скрещивается с прямой $c$. Прямые $a$ и $c$ могут быть как параллельными, так и пересекающимися.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпримеры.

Для наглядности воспользуемся моделью прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Случай 1: прямые a и c параллельны

Пусть прямая $a$ проходит через ребро $AB$, прямая $c$ — через ребро $DC$, а прямая $b$ — через ребро $A_1D_1$.

• Прямые $a \ (AB)$ и $b \ (A_1D_1)$ являются скрещивающимися. Они лежат в параллельных плоскостях оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ и не параллельны друг другу.
• Прямые $b \ (A_1D_1)$ и $c \ (DC)$ также являются скрещивающимися. Они лежат в тех же параллельных плоскостях оснований и не параллельны друг другу.
• Однако прямые $a \ (AB)$ и $c \ (DC)$ параллельны, так как являются противоположными сторонами прямоугольника $ABCD$. Следовательно, они не являются скрещивающимися.

В этом случае условия ($a$ и $b$ скрещиваются, $b$ и $c$ скрещиваются) выполнены, а заключение ($a$ и $c$ скрещиваются) — нет.

Случай 2: прямые a и c пересекаются

Пусть прямая $a$ проходит через ребро $AB$, прямая $c$ — через ребро $AD$, а прямая $b$ — через диагональ верхней грани $B_1D_1$.

• Прямые $a \ (AB)$ и $b \ (B_1D_1)$ являются скрещивающимися. Они лежат в параллельных плоскостях оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ и не параллельны.
• Прямые $c \ (AD)$ и $b \ (B_1D_1)$ также являются скрещивающимися по той же причине.
• Однако прямые $a \ (AB)$ и $c \ (AD)$ пересекаются в вершине $A$. Следовательно, они не являются скрещивающимися.

Этот случай также показывает, что из заданных условий не следует, что прямые $a$ и $c$ скрещиваются.

Ответ: Нет, нельзя.