Номер 4.16, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.16. На отрезке $AB$, не пересекающем плоскость $\alpha$, отмечена точка $C$ так, что $AC = 4$ см, $BC = 8$ см. Через точки $A$, $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $A_1C_1$, если $B_1C_1 = 10$ см.

1) Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
Две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ однозначно определяют плоскость, назовем ее β. Поскольку точки A и B принадлежат этой плоскости, то и вся прямая AB, а значит и лежащая на ней точка C, также принадлежит плоскости β.
Прямая $CC_1$ проходит через точку C, принадлежащую плоскости β, и по условию параллельна прямой $AA_1$, которая также лежит в плоскости β. По свойству параллельных прямых и плоскостей, если прямая проходит через точку плоскости параллельно другой прямой, лежащей в этой плоскости, то она сама целиком лежит в данной плоскости. Следовательно, прямая $CC_1$ лежит в плоскости β.
Таким образом, все три параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ лежат в одной плоскости β.
Точки A₁, B₁ и C₁ являются точками пересечения этих прямых с плоскостью α. Это означает, что все три точки A₁, B₁ и C₁ принадлежат одновременно и плоскости α, и плоскости β.
Линия пересечения двух различных плоскостей (в данном случае α и β) есть прямая. Следовательно, точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой, являющейся линией пересечения этих плоскостей.
Что и требовалось доказать.

2) Найдите отрезок A₁C₁, если B₁C₁ = 10 см.
Рассмотрим две прямые AB и A₁B₁, которые пересекаются тремя параллельными прямыми $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают две стороны угла (или просто две прямые), то они отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Для нашего случая это означает, что отношение отрезков, отсекаемых на прямой AB, равно отношению соответствующих отрезков, отсекаемых на прямой A₁B₁:
$ \frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1} $
Подставим в это соотношение известные из условия значения: $AC = 4$ см, $BC = 8$ см, $B_1C_1 = 10$ см.
$ \frac{4}{8} = \frac{A_1C_1}{10} $
Упростим левую часть дроби:
$ \frac{1}{2} = \frac{A_1C_1}{10} $
Теперь выразим и найдем $A_1C_1$:
$ A_1C_1 = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 $ см.
Ответ: 5 см.