Номер 4.11, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.11. Каким может быть взаимное расположение прямых $b$ и $c$, если:

1) прямые $a$ и $b$ пересекаются, а прямые $a$ и $c$ параллельны;

2) прямые $a$ и $b$ параллельны, а прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся?

1) Дано, что прямые a и b пересекаются, а прямые a и c параллельны.

Пусть прямые a и b пересекаются в точке M. Факт пересечения означает, что прямые a и b лежат в одной плоскости (назовем ее $\alpha$).

Условие $a \parallel c$ означает, что прямые a и c также задают единственную плоскость (назовем ее $\beta$).

Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямой b и плоскости $\beta$:

Случай 1: Прямая b лежит в плоскости $\beta$.
В этом случае прямые b и c обе лежат в плоскости $\beta$, то есть они компланарны. Поскольку прямая b пересекает прямую a, а прямая c параллельна прямой a, то прямая b не может быть параллельна прямой c (иначе, по свойству транзитивности, прямые a и b были бы параллельны, что противоречит условию). Две непараллельные прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются. Следовательно, в этом случае прямые b и c пересекаются.

Случай 2: Прямая b не лежит в плоскости $\beta$.
Поскольку прямая b пересекает прямую a в точке M, а прямая a лежит в плоскости $\beta$, то прямая b пересекает плоскость $\beta$ в точке M. Точка M принадлежит прямой a. Так как $a \parallel c$, то прямые a и c не имеют общих точек, а значит, точка M не принадлежит прямой c. Таким образом, прямая b пересекает плоскость, в которой лежит прямая c, в точке, не принадлежащей прямой c. Это означает, что прямые b и c не пересекаются. Так как они лежат в разных плоскостях (прямая c в $\beta$, а прямая b не в $\beta$), они не могут быть параллельными. Прямые, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися.

Таким образом, прямые b и c могут либо пересекаться, либо быть скрещивающимися.

Ответ: Прямые b и c могут пересекаться или быть скрещивающимися.

2) Дано, что прямые a и b параллельны, а прямые a и c скрещивающиеся.

Из условия $a \parallel b$ следует, что существует единственная плоскость $\alpha$, которой принадлежат обе эти прямые.

То, что прямые a и c скрещивающиеся, означает, что они не пересекаются и не параллельны, а следовательно, не лежат в одной плоскости. Значит, прямая c не лежит в плоскости $\alpha$.

Возможны два варианта расположения прямой c относительно плоскости $\alpha$:

Случай 1: Прямая c пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке P.
Поскольку a и c скрещиваются, они не могут пересекаться, поэтому точка P не лежит на прямой a.

• Если точка P лежит на прямой b, то прямые b и c имеют общую точку P, то есть они пересекаются.
• Если точка P не лежит на прямой b, то прямые b и c не пересекаются. Проверим, могут ли они быть параллельны. Если предположить, что $b \parallel c$, то из условия $a \parallel b$ по свойству транзитивности следовало бы, что $a \parallel c$. Это противоречит условию, что a и c скрещиваются. Значит, b и c не параллельны. Прямые, которые не пересекаются и не параллельны, являются скрещивающимися.

Случай 2: Прямая c параллельна плоскости $\alpha$.
Так как прямая b лежит в плоскости $\alpha$, а прямая c ей параллельна, то прямые b и c не могут пересекаться. Как и в предыдущем рассуждении, они не могут быть и параллельны (иначе $a \parallel c$). Следовательно, в этом случае прямые b и c являются скрещивающимися.

Объединяя выводы из всех рассмотренных случаев, получаем, что прямые b и c могут пересекаться или быть скрещивающимися.

Ответ: Прямые b и c могут пересекаться или быть скрещивающимися.