Номер 4.10, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.10. Прямые $a$ и $b$ параллельны. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, точки $C$ и $D$ — прямой $b$. Каково взаимное расположение прямых $AC$ и $BD$? Ответ обоснуйте.

Поскольку прямые a и b параллельны ($a \parallel b$), все четыре точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Две различные прямые в плоскости, в данном случае AC и BD, могут либо пересекаться в одной точке, либо быть параллельными. Случай совпадения прямых AC и BD исключен, так как это означало бы, что все четыре точки лежат на одной прямой, что противоречит условию о двух различных параллельных прямых a и b.

Для анализа взаимного расположения прямых AC и BD рассмотрим четырехугольник ABDC. Его стороны AB и CD лежат на параллельных прямых a и b соответственно. Следовательно, четырехугольник ABDC является трапецией с основаниями AB и CD. Прямые AC и BD являются прямыми, содержащими боковые стороны этой трапеции.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Четырехугольник ABDC является параллелограммом. Это происходит, когда его основания AB и CD не только параллельны, но и равны по длине, а также одинаково направлены. В терминах векторов это условие записывается как $\vec{AB} = \vec{CD}$. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, поэтому в этом случае боковые стороны AC и BD также будут параллельны ($AC \parallel BD$).

2. Четырехугольник ABDC не является параллелограммом. Это происходит, когда условие $\vec{AB} = \vec{CD}$ не выполняется (то есть отрезки AB и CD имеют разную длину или противоположные направления). В этом случае ABDC — это трапеция, у которой боковые стороны AC и BD не параллельны. Так как прямые AC и BD лежат в одной плоскости и не параллельны, они должны пересекаться.

Таким образом, взаимное расположение прямых AC и BD полностью определяется взаимным расположением точек A, B на прямой a и точек C, D на прямой b.

Ответ: Прямые AC и BD могут быть параллельными или пересекаться. Прямые AC и BD параллельны тогда и только тогда, когда векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны. Во всех остальных случаях прямые AC и BD пересекаются.