Номер 4.7, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.7. Треугольники $ABC$ и $ADB$ лежат в разных плоскостях (рис. 4.17). Каково взаимное расположение прямых $AD$ и $BC$? Ответ обоснуйте.

Рис. 4.17

Для определения взаимного расположения прямых $AD$ и $BC$ рассмотрим плоскости, в которых они лежат.

1. Прямая $AD$ принадлежит плоскости треугольника $ADB$, так как точки $A$ и $D$ лежат в этой плоскости. Обозначим эту плоскость как $\alpha = (ADB)$.

2. Прямая $BC$ принадлежит плоскости треугольника $ABC$, так как точки $B$ и $C$ лежат в этой плоскости. Обозначим эту плоскость как $\beta = (ABC)$.

По условию задачи, треугольники $ABC$ и $ADB$ лежат в разных плоскостях, следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не совпадают.

Далее воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Рассмотрим прямую $BC$ и плоскость $(ADB)$. Прямая $BC$ пересекает плоскость $(ADB)$ в точке $B$. Точка $B$ не принадлежит прямой $AD$ (в противном случае точки $A, B, D$ лежали бы на одной прямой, что невозможно для треугольника $ADB$).

Таким образом, прямая $BC$ пересекает плоскость $(ADB)$, в которой лежит прямая $AD$, в точке $B$, не принадлежащей прямой $AD$. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися.

Альтернативное обоснование (методом от противного):

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

- Предположим, что прямые $AD$ и $BC$ пересекаются или параллельны. В обоих случаях они должны лежать в одной плоскости, назовем ее $\gamma$.

- Если прямые $AD$ и $BC$ лежат в плоскости $\gamma$, то все четыре точки $A$, $D$, $B$ и $C$ принадлежат этой плоскости $\gamma$.

- Но тогда получается, что точки $A, B, C$ (вершины треугольника $ABC$) и точки $A, B, D$ (вершины треугольника $ADB$) лежат в одной и той же плоскости $\gamma$. Это означает, что плоскости треугольников $(ABC)$ и $(ADB)$ совпадают.

- Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что треугольники $ABC$ и $ADB$ лежат в разных плоскостях.

- Следовательно, наше предположение неверно. Прямые $AD$ и $BC$ не могут пересекаться или быть параллельными, а значит, они являются скрещивающимися.

Ответ: прямые $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися.