Номер 4.1, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 4.13). Назовите его рёбра:

1) параллельные ребру $CD$

2) скрещивающиеся с ребром $CD$

Рис. 4.13

1) параллельные ребру CD;

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребру $CD$ параллельны следующие рёбра:

- Ребро $AB$: лежит в одной плоскости с ребром $CD$ (в грани $ABCD$). Так как грань $ABCD$ является квадратом, её противоположные стороны параллельны, следовательно, $AB \parallel CD$.

- Ребро $C_1D_1$: лежит в одной плоскости с ребром $CD$ (в грани $CDD_1C_1$). Так как грань $CDD_1C_1$ является квадратом, её противоположные стороны параллельны, следовательно, $C_1D_1 \parallel CD$.

- Ребро $A_1B_1$: параллельно ребру $AB$ (как противоположные стороны в квадрате $ABB_1A_1$). Поскольку $AB \parallel CD$, то по свойству транзитивности параллельности прямых в пространстве, получаем, что $A_1B_1 \parallel CD$.

Ответ: $AB, A_1B_1, C_1D_1$.

2) скрещивающиеся с ребром CD.

Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не являются параллельными (то есть не лежат в одной плоскости). Чтобы найти все рёбра, скрещивающиеся с ребром $CD$, необходимо из всего множества рёбер куба (которых 12) исключить само ребро $CD$, а также все рёбра, которые ему параллельны или его пересекают.

- Рёбра, параллельные ребру $CD$, были найдены в предыдущем пункте. Это $AB, A_1B_1, C_1D_1$ (всего 3 ребра).

- Рёбра, пересекающие ребро $CD$, — это рёбра, имеющие с $CD$ общую вершину. В вершине $C$ это рёбра $BC$ и $CC_1$. В вершине $D$ это рёбра $AD$ и $DD_1$. Всего 4 пересекающих ребра.

Исключаем из 12 рёбер куба само ребро $CD$ (1), три параллельных ему ребра и четыре пересекающих его ребра: $12 - 1 - 3 - 4 = 4$.

Следовательно, с ребром $CD$ скрещиваются 4 ребра. Это все оставшиеся рёбра: $AA_1, BB_1, A_1D_1, B_1C_1$.

Ответ: $AA_1, BB_1, A_1D_1, B_1C_1$.