Номер 3.42, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.42. Диагональ равнобокой трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ($BC \parallel AD$) и боковыми сторонами $AB = CD$. Проведем диагональ $AC$. По условию, она разбивает трапецию на два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$.

Обозначим углы: пусть $\angle BAC = \alpha$ и $\angle CAD = \beta$.
Поскольку трапеция равнобокая, углы при основании равны: $\angle DAB = \angle CDA = \alpha + \beta$.
Так как $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle CAD = \beta$.

Теперь рассмотрим два равнобедренных треугольника.

1. Треугольник $ABC$ является равнобедренным. Его углы: $\angle BAC = \alpha$, $\angle BCA = \beta$, $\angle ABC$. Возможны три случая равенства сторон:

• $AB = BC$. Тогда углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA \implies \alpha = \beta$.
• $AC = BC$. Тогда углы при основании $AB$ равны: $\angle ABC = \angle BAC \implies \angle ABC = \alpha$.
• $AB = AC$. Так как в равнобокой трапеции $AB=CD$, то этот случай равносилен $AC = CD$.

2. Треугольник $ACD$ является равнобедренным. Его углы: $\angle CAD = \beta$, $\angle CDA = \alpha + \beta$, $\angle ACD$. Возможны три случая равенства сторон:

• $AC = AD$. Тогда углы при основании $CD$ равны: $\angle ACD = \angle CDA = \alpha + \beta$.
• $CD = AD$. Тогда углы при основании $AC$ равны: $\angle ACD = \angle CAD = \beta$.
• $AC = CD$. Тогда углы при основании $AD$ равны: $\angle CAD = \angle CDA \implies \beta = \alpha + \beta \implies \alpha = 0$. Это невозможно, так как угол в треугольнике не может быть равен нулю. Следовательно, случай $AC=CD$ (и равносильный ему $AB=AC$) невозможен.

Теперь рассмотрим возможные комбинации оставшихся случаев.

Случай 1: В $\triangle ABC$ выполняется $AB = BC$ ($\alpha = \beta$), а в $\triangle ACD$ выполняется $AC = AD$ ($\angle ACD = \alpha + \beta$).

Рассмотрим сумму углов в треугольнике $ACD$:
$\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$
$\beta + (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta) = 180^\circ$
$2\alpha + 3\beta = 180^\circ$
Так как в этом случае $\alpha = \beta$, подставим $\beta$ вместо $\alpha$:
$2\beta + 3\beta = 180^\circ$
$5\beta = 180^\circ$
$\beta = 36^\circ$
Следовательно, $\alpha = 36^\circ$.

Теперь найдем углы трапеции:

• Углы при большем основании: $\angle DAB = \angle CDA = \alpha + \beta = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ$.
• Углы при меньшем основании: $\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Эта комбинация дает непротиворечивое решение.

Случай 2: В $\triangle ABC$ выполняется $AC = BC$ ($\angle ABC = \alpha$), а в $\triangle ACD$ выполняется $CD = AD$ ($\angle ACD = \beta$).

Рассмотрим сумму углов в $\triangle ABC$:
$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$
$\alpha + \beta + \alpha = 180^\circ \implies 2\alpha + \beta = 180^\circ$.
Рассмотрим сумму углов в $\triangle ACD$:
$\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$
$\beta + (\alpha + \beta) + \beta = 180^\circ \implies \alpha + 3\beta = 180^\circ$.
Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 2\alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha + 3\beta = 180^\circ \end{cases} $Из первого уравнения $\beta = 180^\circ - 2\alpha$. Подставим во второе:
$\alpha + 3(180^\circ - 2\alpha) = 180^\circ$
$\alpha + 540^\circ - 6\alpha = 180^\circ$
$-5\alpha = -360^\circ$
$\alpha = 72^\circ$
Тогда $\beta = 180^\circ - 2(72^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.
Углы трапеции в этом случае:$\angle DAB = \angle CDA = \alpha + \beta = 72^\circ + 36^\circ = 108^\circ$.Углы при основании трапеции не могут быть тупыми. Следовательно, этот случай не подходит.

Другие комбинации также приводят либо к противоречиям, либо к вырожденному случаю (прямоугольнику, где углы равны $90^\circ$, что является частным решением, но обычно под "трапецией" понимают непрямоугольную фигуру). Таким образом, единственным решением для непрямоугольной трапеции является первое.

Ответ: Углы трапеции равны $72^\circ, 108^\circ, 108^\circ, 72^\circ$.