Номер 3.36, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.36. Точки $M$, $N$ и $K$ принадлежат соответственно граням $ADB$, $BDC$ и $CDA$ тетраэдра $DABC$ (рис. 3.54). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.54

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$, воспользуемся методом следов. Суть метода заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости $(MNK)$ с одной из граней тетраэдра, например, с плоскостью основания $(ABC)$. Затем, используя этот след, мы последовательно найдем линии пересечения секущей плоскости с другими гранями тетраэдра.

Построение можно разбить на следующие этапы:

1. Построение следа секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$

1. Точки $M$, $N$ и $K$ лежат на боковых гранях тетраэдра, имеющих общую вершину $D$. Спроецируем эти точки из центра проекции $D$ на плоскость основания $(ABC)$. Для этого проведем лучи $DM$, $DN$ и $DK$.
   • Луч $DM$ пересекает ребро $AB$ в точке $M_1$. Так как $M \in (ADB)$, то и луч $DM$, и точка $M_1$ лежат в плоскости $(ADB)$, а значит $M_1 \in AB$.
   • Луч $DN$ пересекает ребро $BC$ в точке $N_1$. Так как $N \in (BDC)$, то $N_1 \in BC$.
   • Луч $DK$ пересекает ребро $AC$ в точке $K_1$. Так как $K \in (CDA)$, то $K_1 \in AC$.
2. Теперь найдем две точки, принадлежащие одновременно секущей плоскости $(MNK)$ и плоскости основания $(ABC)$.
   • Рассмотрим прямые $MN$ и $M_1N_1$. Обе прямые лежат в одной плоскости $(DM_1N_1)$, так как точки $M, N, M_1, N_1$ лежат в этой плоскости. Найдем точку их пересечения: $P_1 = MN \cap M_1N_1$.
     Поскольку точка $P_1$ лежит на прямой $MN$, она принадлежит секущей плоскости $(MNK)$.
     Поскольку точка $P_1$ лежит на прямой $M_1N_1$, а прямая $M_1N_1$ лежит в плоскости основания $(ABC)$, то точка $P_1$ принадлежит плоскости $(ABC)$.
     Следовательно, точка $P_1$ лежит на линии пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(ABC)$.
   • Аналогично рассмотрим прямые $NK$ и $N_1K_1$. Они лежат в одной плоскости $(DN_1K_1)$. Найдем точку их пересечения: $P_2 = NK \cap N_1K_1$.
     Точка $P_2$ также принадлежит и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости основания $(ABC)$.
3. Прямая, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(ABC)$. Эта прямая называется следом плоскости $(MNK)$ на плоскости $(ABC)$. Обозначим этот след буквой $l$.

2. Построение сторон сечения на гранях тетраэдра

1. Найдём точки пересечения следа $l$ с прямыми, содержащими стороны основания $ABC$.
   • Пусть $T_1 = l \cap BC$.
   • Пусть $T_2 = l \cap AC$.
   • Пусть $T_3 = l \cap AB$.
2. Теперь построим линии пересечения секущей плоскости с боковыми гранями.
   • Грань $BDC$: Точка $N$ (по условию) и точка $T_1$ (так как $T_1 \in BC$) лежат в плоскости грани $(BDC)$. Обе эти точки также лежат в секущей плоскости $(MNK)$. Следовательно, прямая $NT_1$ является линией пересечения плоскости $(MNK)$ с плоскостью грани $(BDC)$.
   • Грань $CDA$: Точка $K$ и точка $T_2$ лежат в плоскости грани $(CDA)$ и в секущей плоскости. Следовательно, прямая $KT_2$ является линией пересечения плоскости $(MNK)$ с плоскостью грани $(CDA)$.
   • Грань $ADB$: Точка $M$ и точка $T_3$ лежат в плоскости грани $(ADB)$ и в секущей плоскости. Следовательно, прямая $MT_3$ является линией пересечения плоскости $(MNK)$ с плоскостью грани $(ADB)$.

3. Определение вершин и построение искомого сечения

1. Вершины многоугольника, являющегося сечением, – это точки пересечения построенных линий с рёбрами тетраэдра.
   • Прямая $NT_1$ пересекает рёбра $DB$ и $DC$ в точках $V_1$ и $V_2$ соответственно. $V_1 = NT_1 \cap DB$, $V_2 = NT_1 \cap DC$.
   • Прямая $KT_2$ пересекает рёбра $DC$ и $DA$. Точка пересечения с ребром $DC$ совпадает с $V_2$. Точку пересечения с ребром $DA$ обозначим $V_3$. $V_3 = KT_2 \cap DA$.
   • Прямая $MT_3$ должна пройти через уже найденные точки $V_3$ и $V_1$, лежащие на рёбрах $DA$ и $DB$.
2. Соединив последовательно точки $V_1$, $V_2$ и $V_3$, получим треугольник $V_1V_2V_3$. Этот треугольник и является искомым сечением тетраэдра $DABC$ плоскостью $(MNK)$.

Ответ: Искомым сечением является треугольник $V_1V_2V_3$, построенный согласно описанному выше алгоритму.