Номер 3.29, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.29. На ребре $CC_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечена точка $E$ (рис. 3.50). Постройте сечение призмы плоскостью $BA_1E$.

Рис. 3.50

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $B$, $A_1$ и $E$, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами призмы. Обозначим секущую плоскость как $(BA_1E)$.

1. Построение сторон сечения, лежащих на известных гранях

Сначала соединим точки, которые лежат в одной и той же грани призмы. Точки $B$ и $A_1$ принадлежат плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Следовательно, отрезок $BA_1$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и одной из сторон искомого сечения. Аналогично, точки $B$ и $E$ принадлежат плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединив их, получаем отрезок $BE$ — вторую сторону сечения.

2. Нахождение новой вершины сечения с помощью метода следов

Для дальнейшего построения найдем линию пересечения (след) секущей плоскости $(BA_1E)$ с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Для построения прямой необходимы две точки. Одна точка, $A_1$, нам уже известна, так как она принадлежит секущей плоскости и плоскости верхнего основания. Чтобы найти вторую точку, рассмотрим прямые $BE$ и $B_1C_1$. Обе эти прямые лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Поскольку в призме боковые ребра параллельны и основания параллельны, то прямые $BE$ и $B_1C_1$ не параллельны (в общем случае) и, следовательно, пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $F$, то есть $F = BE \cap B_1C_1$. Точка $F$ принадлежит прямой $BE$, а значит, и секущей плоскости $(BA_1E)$. В то же время, точка $F$ принадлежит прямой $B_1C_1$, а значит, и плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Таким образом, точка $F$ лежит на линии пересечения этих двух плоскостей. Проведем прямую $A_1F$ — это и есть след секущей плоскости на плоскости верхнего основания. Эта прямая пересечет ребро $C_1D_1$ в некоторой точке $K$. Точка $K$ является новой вершиной сечения.

3. Завершение построения сечения

Мы получили новую вершину сечения $K$ на ребре $C_1D_1$. Теперь можно построить оставшиеся стороны. Отрезок $A_1K$ соединяет две точки сечения на грани верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Точки $E$ и $K$ лежат на одной грани $DCC_1D_1$ (так как $E \in CC_1$ и $K \in C_1D_1$), поэтому отрезок $EK$ также является стороной сечения. Соединив последовательно точки $A_1$, $B$, $E$ и $K$, получаем замкнутый четырехугольник $A_1BEK$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $A_1BEK$, вершины которого лежат на ребрах призмы: $A_1$ и $B$ — вершины призмы, точка $E$ лежит на ребре $CC_1$, а точка $K$ — на ребре $C_1D_1$.