Номер 3.25, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.25. На боковых рёбрах $MB$ и $MC$ пирамиды $MABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ (рис. 3.46). Постройте линию пересечения плоскостей $AEC$ и $BDF$.

Рис. 3.46

Для построения линии пересечения плоскостей $(AEC)$ и $(BDF)$ необходимо найти две общие точки этих плоскостей. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки

Рассмотрим плоскость боковой грани $(MBC)$. В этой плоскости лежат две прямые: $EC$, которая принадлежит плоскости $(AEC)$, и $BF$, которая принадлежит плоскости $(BDF)$.

Поскольку прямые $EC$ и $BF$ лежат в одной плоскости $(MBC)$ и не параллельны (в общем случае), они пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $K$.

$K = EC \cap BF$

Так как точка $K$ принадлежит прямой $EC$, то она принадлежит и плоскости $(AEC)$. Аналогично, так как точка $K$ принадлежит прямой $BF$, она принадлежит и плоскости $(BDF)$. Таким образом, точка $K$ является одной из точек искомой линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки

Рассмотрим плоскость основания пирамиды $(ABCD)$. В этой плоскости лежат две прямые: диагональ $AC$, которая принадлежит плоскости $(AEC)$, и диагональ $BD$, которая принадлежит плоскости $(BDF)$.

Прямые $AC$ и $BD$ лежат в одной плоскости $(ABCD)$ и пересекаются (в общем случае). Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

$O = AC \cap BD$

Так как точка $O$ принадлежит прямой $AC$, то она принадлежит и плоскости $(AEC)$. Аналогично, так как точка $O$ принадлежит прямой $BD$, она принадлежит и плоскости $(BDF)$. Таким образом, точка $O$ является второй точкой искомой линии пересечения.

3. Построение линии пересечения

Мы нашли две различные точки, $K$ и $O$, которые одновременно принадлежат обеим плоскостям $(AEC)$ и $(BDF)$. Через две точки можно провести единственную прямую. Следовательно, прямая, проходящая через точки $K$ и $O$, является линией пересечения плоскостей $(AEC)$ и $(BDF)$.

Алгоритм построения:

1. В плоскости грани $(MBC)$ строим прямые $EC$ и $BF$ и находим их точку пересечения $K$.
2. В плоскости основания $(ABCD)$ строим диагонали $AC$ и $BD$ и находим их точку пересечения $O$.
3. Проводим прямую через точки $K$ и $O$. Прямая $KO$ является искомой линией пересечения.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $AEC$ и $BDF$ является прямая $KO$, где $K$ — точка пересечения прямых $EC$ и $BF$, а $O$ — точка пересечения прямых $AC$ и $BD$.