Номер 3.19, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.19. На рёбрах $AB$, $AD$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$, $F$ и $M$ (рис. 3.40). Постройте сечение куба плоскостью $EFM$.

Рис. 3.40

Для построения сечения куба $ABC D A_1B_1C_1D_1$ плоскостью $EFM$ необходимо последовательно найти точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Построение будем выполнять пошагово, используя метод следов и свойство параллельности граней куба.

Шаг 1. Построение линии пересечения с гранью $ABCD$.

Точки $E$ и $F$ по условию лежат на ребрах $AB$ и $AD$ соответственно. Так как оба ребра принадлежат одной грани $ABCD$, то точки $E$ и $F$ лежат в плоскости этой грани. Соединим их отрезком. Отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости $EFM$ с гранью $ABCD$.

Шаг 2. Использование метода следов для нахождения точек в смежных гранях.

Продлим прямую $EF$, лежащую в плоскости $ABCD$, до пересечения с прямой, содержащей ребро $CD$. Обозначим точку их пересечения $P$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $EF$) и одновременно плоскости задней грани $CDD_1C_1$ (так как лежит на прямой $CD$).

В плоскости грани $CDD_1C_1$ теперь у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $M$ (по условию) и построенная точка $P$. Проведем через них прямую $MP$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости грани $CDD_1C_1$.

Прямая $MP$ пересекает ребро $DD_1$ в точке, которую обозначим $K$. Отрезок $MK$ является стороной искомого сечения.

Теперь рассмотрим грань $ADD_1A_1$. В ней лежат две точки секущей плоскости: точка $F$ (по условию) и построенная точка $K$. Соединив их, получим отрезок $FK$ — еще одну сторону сечения.

Шаг 3. Использование свойства параллельности граней.

Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Поэтому линия пересечения с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна отрезку $FK$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $FK$. Точка пересечения этой прямой с ребром $B_1C_1$ даст нам новую вершину сечения — точку $L$. Отрезок $ML$ — сторона сечения.

Аналогично, нижняя грань $ABCD$ параллельна верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Значит, след секущей плоскости на верхней грани будет параллелен следу на нижней, то есть отрезку $EF$. Проведем через построенную точку $L$ прямую, параллельную $EF$. Точка пересечения этой прямой с ребром $A_1B_1$ даст нам вершину $N$. Отрезок $LN$ — сторона сечения.

Шаг 4. Завершение построения.

Мы получили точку $N$ на ребре $A_1B_1$ и имеем исходную точку $E$ на ребре $AB$. Обе эти точки лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $NE$. Этот отрезок замыкает многоугольник сечения.

Полученный шестиугольник $EFKMLN$ и является искомым сечением куба плоскостью $EFM$.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $EFKMLN$, построение которого описано выше.