Номер 3.17, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.17. Дана пирамида $MABCD$, точка $K$ принадлежит отрезку $BD$ (рис. 3.38). Постройте линию пересечения плоскостей $MCK$ и $MAB$.

Рис. 3.38

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две их общие точки. Прямая, проходящая через эти точки, будет являться искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки

По определению, точка $M$ принадлежит как плоскости $MCK$, так и плоскости $MAB$. Следовательно, $M$ — первая общая точка этих плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки

Для нахождения второй общей точки рассмотрим пересечение данных плоскостей с плоскостью основания пирамиды $ABCD$.

• Плоскость $MAB$ пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $AB$.
• Плоскость $MCK$ пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $CK$, так как точки $C$ и $K$ лежат в плоскости основания ($K \in BD$, $BD \subset (ABCD)$).

Прямые $AB$ и $CK$ лежат в одной плоскости (плоскости основания $ABCD$). Найдем точку их пересечения. Для этого продолжим отрезки $AB$ и $CK$ до их пересечения в точке, которую назовем $E$.

Так как точка $E$ лежит на прямой $AB$, то она принадлежит плоскости $MAB$.

Так как точка $E$ лежит на прямой $CK$, то она принадлежит плоскости $MCK$.

Следовательно, точка $E$ является второй общей точкой для плоскостей $MAB$ и $MCK$.

3. Построение линии пересечения

Поскольку обе точки, $M$ и $E$, принадлежат и плоскости $MAB$, и плоскости $MCK$, то линия пересечения этих плоскостей — это прямая, проходящая через точки $M$ и $E$, то есть прямая $ME$.

Алгоритм построения:

1. В плоскости основания $ABCD$ проводим прямую через точки $C$ и $K$.
2. Продолжаем прямую $AB$ до пересечения с прямой $CK$. Точку пересечения обозначаем $E$.
3. Соединяем вершину пирамиды $M$ с точкой $E$. Прямая $ME$ является искомой линией пересечения.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $MCK$ и $MAB$ является прямая $ME$, где $E$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CK$.