Номер 3.10, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.10. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 3.32). Точка $D$ принадлежит прямой $AC$, точка $E$ — ребру $BC$. Постройте сечение призмы плоскостью $DEC_1$.

Рис. 3.32

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $D, E, C_1$, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями призмы. Построение можно выполнить в несколько шагов.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания.
Точки $D$ и $E$ принадлежат секущей плоскости $(DEC_1)$ и одновременно лежат в плоскости нижнего основания $(ABC)$, так как точка $D$ лежит на прямой $AC$, а точка $E$ — на ребре $BC$. Прямая, проходящая через две точки, принадлежащие обеим плоскостям, является линией их пересечения. Следовательно, прямая $DE$ — это след (линия пересечения) секущей плоскости на плоскости основания $(ABC)$. Проведём эту прямую.

2. Нахождение вершин сечения на рёбрах призмы.
Вершины многоугольника сечения являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами призмы.
а) Найдём точки пересечения следа $DE$ с рёбрами основания. Точка $E$ уже является вершиной сечения, так как лежит на ребре $BC$. Найдём точку пересечения прямой $DE$ с прямой, содержащей ребро $AB$. Обозначим эту точку как $M$. Судя по расположению точек на рисунке, точка $M$ лежит на отрезке $AB$. Таким образом, $M$ — вторая вершина сечения. Отрезок $ME$ является стороной сечения, лежащей на грани $ABC$.
б) Рассмотрим боковую грань $AA_1C_1C$. Точки $D$ (на прямой $AC$) и $C_1$ принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости этой грани. Следовательно, прямая $DC_1$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $(AA_1C_1C)$. Эта прямая пересекает боковое ребро $AA_1$. Обозначим точку пересечения как $K$. Точка $K$ — третья вершина сечения.

3. Построение многоугольника сечения.
На данный момент определены все вершины искомого сечения: $M$ на ребре $AB$, $K$ на ребре $AA_1$, вершина призмы $C_1$ и $E$ на ребре $BC$. Теперь последовательно соединим отрезками те вершины, которые лежат в одной грани призмы:
• $ME$ на грани $ABC$ (построено ранее).
• $MK$: точки $M$ и $K$ лежат в плоскости грани $AA_1B_1B$. Проводим отрезок $MK$.
• $KC_1$: точки $K$ и $C_1$ лежат в плоскости грани $AA_1C_1C$. Проводим отрезок $KC_1$.
• $C_1E$: точки $C_1$ и $E$ лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Проводим отрезок $C_1E$.
В результате получаем замкнутый четырёхугольник $MKC_1E$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $MKC_1E$, где точка $M$ является точкой пересечения прямой $DE$ с ребром $AB$, а точка $K$ — точкой пересечения прямой $DC_1$ с ребром $AA_1$.