Номер 3.14, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.14. Дана пирамида $SABCD$ (рис. 3.36). Постройте линию пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$.

Рис. 3.36

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$.

1. Нахождение первой общей точки.
Вершина пирамиды, точка $S$, принадлежит обеим плоскостям. Она принадлежит плоскости $ASB$, так как является общей вершиной для ребер $SA$ и $SB$. Аналогично, точка $S$ принадлежит плоскости $CSD$, так как является общей вершиной для ребер $SC$ и $SD$. Следовательно, точка $S$ — это первая точка искомой линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.
Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$, на которых лежат стороны основания пирамиды. Прямая $AB$ полностью содержится в плоскости $ASB$, а прямая $CD$ — в плоскости $CSD$. Обе эти прямые также лежат в одной плоскости — плоскости основания $ABCD$.
Поскольку прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости ($ABCD$), они либо пересекаются, либо параллельны.
В общем случае (как и показано на рисунке), стороны $AB$ и $CD$ не параллельны, а значит, прямые, их содержащие, пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $P$.
- Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости $ASB$.
- Так как точка $P$ лежит на прямой $CD$, она принадлежит плоскости $CSD$.
Таким образом, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $ASB$ и $CSD$.

3. Построение линии пересечения.
Мы нашли две общие точки для плоскостей $ASB$ и $CSD$: это вершина $S$ и точка $P$. Следовательно, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через эти две точки, то есть прямая $SP$.

Алгоритм построения:
1. Продлить стороны основания $AB$ и $CD$ до их пересечения. Обозначить точку пересечения как $P$.
2. Провести прямую через вершину пирамиды $S$ и точку $P$.
Полученная прямая $SP$ и есть искомая линия пересечения плоскостей.

Замечание: Если бы в основании пирамиды лежала трапеция с основаниями $AB$ и $CD$ (или параллелограмм), то прямые $AB$ и $CD$ были бы параллельны. В этом случае, согласно теореме о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости, линия их пересечения была бы параллельна этой прямой. То есть, линия пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$ проходила бы через их общую точку $S$ и была бы параллельна прямым $AB$ и $CD$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$ является прямая, проходящая через вершину пирамиды $S$ и точку $P$, где $P$ — точка пересечения прямых, содержащих стороны основания $AB$ и $CD$.