Страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.12. Точка $M$ принадлежит грани $ASB$ тетраэдра $SABC$, точка $K$ — грани $BSC$ (рис. 3.34). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 3.34

Для построения точки пересечения прямой MK с плоскостью ABC воспользуемся методом вспомогательных сечений. В качестве вспомогательной плоскости возьмем плоскость, проходящую через точки S, M и K, то есть плоскость (SMK).

Построение и обоснование:

1. Искомая точка пересечения прямой MK с плоскостью (ABC) должна принадлежать обеим этим сущностям. Поскольку прямая MK полностью лежит во вспомогательной плоскости (SMK), искомая точка также должна лежать в плоскости (SMK). Следовательно, она должна лежать на линии пересечения плоскостей (SMK) и (ABC).

2. Найдем линию пересечения плоскостей (SMK) и (ABC). Для этого найдем две общие точки этих плоскостей.

   • Точка M по условию принадлежит грани ASB, значит, прямая SM лежит в плоскости (ASB). Прямые SM и AB лежат в одной плоскости (ASB) и, в общем случае, непараллельны. Найдем точку их пересечения, продолжив отрезок SM. Обозначим эту точку $M_1$.

     $M_1 = SM \cap AB$

     Так как точка $M_1$ лежит на прямой AB, она принадлежит плоскости основания (ABC). Так как точка $M_1$ лежит на прямой SM, она принадлежит вспомогательной плоскости (SMK). Следовательно, $M_1$ — одна из точек, принадлежащих линии пересечения плоскостей (SMK) и (ABC).

   • Аналогично, точка K принадлежит грани BSC, значит, прямая SK лежит в плоскости (BSC). Прямые SK и BC лежат в одной плоскости (BSC). Найдем точку их пересечения, продолжив отрезок SK. Обозначим эту точку $K_1$.

     $K_1 = SK \cap BC$

     Так как точка $K_1$ лежит на прямой BC, она принадлежит плоскости основания (ABC). Так как точка $K_1$ лежит на прямой SK, она принадлежит вспомогательной плоскости (SMK). Следовательно, $K_1$ — вторая точка, принадлежащая линии пересечения плоскостей (SMK) и (ABC).

3. Прямая, проходящая через точки $M_1$ и $K_1$, является линией пересечения плоскости (SMK) и плоскости (ABC).

4. Искомая точка пересечения P прямой MK с плоскостью (ABC) должна лежать на прямой MK и на плоскости (ABC). Мы установили, что она также должна лежать на прямой $M_1K_1$. Таким образом, точка P является точкой пересечения прямых MK и $M_1K_1$. Обе эти прямые лежат во вспомогательной плоскости (SMK), поэтому их пересечение можно построить.

   $P = MK \cap M_1K_1$

   Точка P является искомой точкой, так как она принадлежит прямой MK и, одновременно, прямой $M_1K_1$, которая лежит в плоскости (ABC).

Ответ: Искомая точка P является точкой пересечения прямых MK и $M_1K_1$, где $M_1$ — точка пересечения прямых SM и AB, а $K_1$ — точка пересечения прямых SK и BC.

3.13. Точка M принадлежит грани $ASB$ пирамиды $SABCD$, точка K — грани $CSD$ (рис. 3.35). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 3.35

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ используется метод вспомогательной секущей плоскости. Суть метода заключается в следующем: через прямую $MK$ проводится вспомогательная плоскость, находится линия пересечения этой плоскости с плоскостью $ABC$, и затем определяется точка пересечения исходной прямой $MK$ с найденной линией.

Алгоритм построения и его обоснование:

1. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через вершину пирамиды $S$ и точки $M$ и $K$. Обозначим эту плоскость $(SMK)$.
2. Найдем линию пересечения плоскости $(SMK)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Для этого найдем две точки, принадлежащие обеим плоскостям.
3. Точка $M$ лежит в плоскости грани $(SAB)$. Прямая $SM$ также лежит в плоскости $(SAB)$. Построим точку $M_1$ как пересечение прямой $SM$ с прямой $AB$: $M_1 = SM \cap AB$. Так как точка $M_1$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости основания $(ABC)$. Так как $M_1$ лежит на прямой $SM$, она принадлежит и вспомогательной плоскости $(SMK)$.
4. Аналогично, точка $K$ лежит в плоскости грани $(SCD)$. Прямая $SK$ также лежит в плоскости $(SCD)$. Построим точку $K_1$ как пересечение прямой $SK$ с прямой $CD$: $K_1 = SK \cap CD$. Так как точка $K_1$ лежит на прямой $CD$, она принадлежит плоскости основания $(ABC)$. Так как $K_1$ лежит на прямой $SK$, она принадлежит и вспомогательной плоскости $(SMK)$.
5. Прямая $M_1K_1$ проходит через две точки, принадлежащие и плоскости $(SMK)$, и плоскости $(ABC)$, следовательно, $M_1K_1$ является линией их пересечения: $(SMK) \cap (ABC) = M_1K_1$.
6. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ должна лежать на прямой $MK$ и в то же время в плоскости $(ABC)$. Поскольку прямая $MK$ лежит во вспомогательной плоскости $(SMK)$, искомая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей $(SMK)$ и $(ABC)$, то есть на прямой $M_1K_1$.
7. Таким образом, искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $M_1K_1$. Обе прямые лежат в одной плоскости $(SMK)$, поэтому они пересекаются (в общем случае).
   $P = MK \cap M_1K_1$.

Точка $P$ и есть искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $MK$ и прямой $M_1K_1$, где $M_1 = SM \cap AB$ и $K_1 = SK \cap CD$.

3.14. Дана пирамида $SABCD$ (рис. 3.36). Постройте линию пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$.

Рис. 3.36

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$.

1. Нахождение первой общей точки.
Вершина пирамиды, точка $S$, принадлежит обеим плоскостям. Она принадлежит плоскости $ASB$, так как является общей вершиной для ребер $SA$ и $SB$. Аналогично, точка $S$ принадлежит плоскости $CSD$, так как является общей вершиной для ребер $SC$ и $SD$. Следовательно, точка $S$ — это первая точка искомой линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.
Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$, на которых лежат стороны основания пирамиды. Прямая $AB$ полностью содержится в плоскости $ASB$, а прямая $CD$ — в плоскости $CSD$. Обе эти прямые также лежат в одной плоскости — плоскости основания $ABCD$.
Поскольку прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости ($ABCD$), они либо пересекаются, либо параллельны.
В общем случае (как и показано на рисунке), стороны $AB$ и $CD$ не параллельны, а значит, прямые, их содержащие, пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $P$.
- Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости $ASB$.
- Так как точка $P$ лежит на прямой $CD$, она принадлежит плоскости $CSD$.
Таким образом, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $ASB$ и $CSD$.

3. Построение линии пересечения.
Мы нашли две общие точки для плоскостей $ASB$ и $CSD$: это вершина $S$ и точка $P$. Следовательно, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через эти две точки, то есть прямая $SP$.

Алгоритм построения:
1. Продлить стороны основания $AB$ и $CD$ до их пересечения. Обозначить точку пересечения как $P$.
2. Провести прямую через вершину пирамиды $S$ и точку $P$.
Полученная прямая $SP$ и есть искомая линия пересечения плоскостей.

Замечание: Если бы в основании пирамиды лежала трапеция с основаниями $AB$ и $CD$ (или параллелограмм), то прямые $AB$ и $CD$ были бы параллельны. В этом случае, согласно теореме о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости, линия их пересечения была бы параллельна этой прямой. То есть, линия пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$ проходила бы через их общую точку $S$ и была бы параллельна прямым $AB$ и $CD$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$ является прямая, проходящая через вершину пирамиды $S$ и точку $P$, где $P$ — точка пересечения прямых, содержащих стороны основания $AB$ и $CD$.

3.15. Дана пирамида $SABCDE$ (рис. 3.37). Постройте линию пересечения плоскостей $ASE$ и $BSC$.

Рис. 3.37

Для того чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться искомой линией пересечения.

В нашем случае нужно построить линию пересечения плоскостей $(ASE)$ и $(BSC)$.

1. Нахождение первой общей точки.
Вершина пирамиды $S$ по определению принадлежит обеим плоскостям, так как она входит в названия обеих плоскостей: $(A\underline{S}E)$ и $(B\underline{S}C)$. Следовательно, точка $S$ — это первая общая точка двух плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки.
Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямые, которые лежат в данных плоскостях. Прямая $AE$ лежит в плоскости $(ASE)$, а прямая $BC$ лежит в плоскости $(BSC)$. Обе эти прямые ($AE$ и $BC$) одновременно лежат в плоскости основания пирамиды $(ABCDE)$. Так как прямые лежат в одной плоскости и не являются параллельными (что следует из общего вида пятиугольного основания на рисунке), они должны пересечься.
Построим продолжения отрезков $AE$ и $BC$ до их пересечения. Обозначим точку их пересечения буквой $M$. Таким образом, $M = AE \cap BC$.

Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $AE$, то она принадлежит и плоскости $(ASE)$.
Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $BC$, то она принадлежит и плоскости $(BSC)$.
Следовательно, точка $M$ является второй общей точкой для плоскостей $(ASE)$ и $(BSC)$.

3. Построение линии пересечения.
Мы нашли две общие точки $S$ и $M$ для плоскостей $(ASE)$ и $(BSC)$. Прямая, проходящая через эти две точки, и есть линия их пересечения. Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая $SM$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $A$ и $E$.
2. Провести прямую через точки $B$ и $C$.
3. Найти точку пересечения этих прямых: $M$.
4. Провести прямую через точки $S$ и $M$.

Полученная прямая $SM$ является искомой линией пересечения.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $ASE$ и $BSC$ является прямая $SM$, где $S$ — вершина пирамиды, а $M$ — точка пересечения прямых $AE$ и $BC$.

3.16. На рёбрах $AB$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$. Постройте линию пересечения плоскостей $AFB$ и $CED$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

Рассмотрим данные в условии плоскости $(AFB)$ и $(CED)$.

1. Проанализируем принадлежность точки $E$ к каждой из плоскостей. По условию, точка $E$ лежит на ребре $AB$ ($E \in AB$).

• Плоскость $(AFB)$ проходит через точки $A$ и $B$, а значит, содержит всю прямую $AB$. Так как $E \in AB$, то точка $E$ принадлежит плоскости $(AFB)$.
• Плоскость $(CED)$ по определению задается тремя точками $C$, $E$ и $D$. Следовательно, точка $E$ принадлежит плоскости $(CED)$.

Таким образом, точка $E$ является общей точкой для обеих плоскостей.

2. Аналогично проанализируем принадлежность точки $F$ к каждой из плоскостей. По условию, точка $F$ лежит на ребре $CD$ ($F \in CD$).

• Плоскость $(AFB)$ по определению задается тремя точками $A$, $F$ и $B$. Следовательно, точка $F$ принадлежит плоскости $(AFB)$.
• Плоскость $(CED)$ проходит через точки $C$ и $D$, а значит, содержит всю прямую $CD$. Так как $F \in CD$, то точка $F$ принадлежит плоскости $(CED)$.

Таким образом, точка $F$ также является общей точкой для обеих плоскостей.

Поскольку мы нашли две различные общие точки $E$ и $F$, принадлежащие обеим плоскостям, то линия их пересечения — это прямая, проходящая через эти точки. Для построения искомой линии пересечения достаточно соединить точки $E$ и $F$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $(AFB)$ и $(CED)$ является прямая $EF$.

3.17. Дана пирамида $MABCD$, точка $K$ принадлежит отрезку $BD$ (рис. 3.38). Постройте линию пересечения плоскостей $MCK$ и $MAB$.

Рис. 3.38

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две их общие точки. Прямая, проходящая через эти точки, будет являться искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки

По определению, точка $M$ принадлежит как плоскости $MCK$, так и плоскости $MAB$. Следовательно, $M$ — первая общая точка этих плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки

Для нахождения второй общей точки рассмотрим пересечение данных плоскостей с плоскостью основания пирамиды $ABCD$.

• Плоскость $MAB$ пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $AB$.
• Плоскость $MCK$ пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $CK$, так как точки $C$ и $K$ лежат в плоскости основания ($K \in BD$, $BD \subset (ABCD)$).

Прямые $AB$ и $CK$ лежат в одной плоскости (плоскости основания $ABCD$). Найдем точку их пересечения. Для этого продолжим отрезки $AB$ и $CK$ до их пересечения в точке, которую назовем $E$.

Так как точка $E$ лежит на прямой $AB$, то она принадлежит плоскости $MAB$.

Так как точка $E$ лежит на прямой $CK$, то она принадлежит плоскости $MCK$.

Следовательно, точка $E$ является второй общей точкой для плоскостей $MAB$ и $MCK$.

3. Построение линии пересечения

Поскольку обе точки, $M$ и $E$, принадлежат и плоскости $MAB$, и плоскости $MCK$, то линия пересечения этих плоскостей — это прямая, проходящая через точки $M$ и $E$, то есть прямая $ME$.

Алгоритм построения:

1. В плоскости основания $ABCD$ проводим прямую через точки $C$ и $K$.
2. Продолжаем прямую $AB$ до пересечения с прямой $CK$. Точку пересечения обозначаем $E$.
3. Соединяем вершину пирамиды $M$ с точкой $E$. Прямая $ME$ является искомой линией пересечения.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $MCK$ и $MAB$ является прямая $ME$, где $E$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CK$.

3.18. На рёбрах $AD$ и $CD$ пирамиды $SABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 3.39). Постройте линию пересечения плоскостей $BSC$ и $MSK$.

Рис. 3.39

Для того чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, $BSC$ и $MSK$, необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться искомой линией пересечения.

Первая общая точка очевидна из определения плоскостей. Точка $S$ является вершиной пирамиды и по условию принадлежит как плоскости $BSC$, так и плоскости $MSK$. Таким образом, $S$ — первая точка искомой линии пересечения.

Для нахождения второй общей точки найдем точку пересечения прямых, по которым данные плоскости пересекаются с плоскостью основания $ABCD$. Плоскость $BSC$ пересекает плоскость основания по прямой $BC$. Плоскость $MSK$ пересекает плоскость основания по прямой $MK$, поскольку точки $M$ и $K$ лежат на ребрах основания $AD$ и $CD$ соответственно, а значит, прямая $MK$ целиком лежит в плоскости основания $ABCD$.

Обе прямые, $MK$ и $BC$, лежат в одной плоскости $ABCD$. В общем случае они не параллельны, а значит, пересекаются. Найдем их точку пересечения, продлив соответствующие отрезки. Обозначим эту точку как $P$. Таким образом, $P = MK \cap BC$.

Поскольку точка $P$ лежит на прямой $MK$, она принадлежит плоскости $MSK$. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $BC$, она также принадлежит плоскости $BSC$. Следовательно, точка $P$ является второй общей точкой для данных плоскостей.

Мы нашли две общие точки $S$ и $P$. Прямая, проходящая через них, является линией пересечения плоскостей $BSC$ и $MSK$. Для построения искомой линии нужно продлить прямые $MK$ и $BC$ до их пересечения в точке $P$, а затем провести прямую через точки $S$ и $P$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая $SP$, где $P$ — точка пересечения прямых $MK$ и $BC$.