Номер 3.13, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.13. Точка M принадлежит грани $ASB$ пирамиды $SABCD$, точка K — грани $CSD$ (рис. 3.35). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 3.35

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ используется метод вспомогательной секущей плоскости. Суть метода заключается в следующем: через прямую $MK$ проводится вспомогательная плоскость, находится линия пересечения этой плоскости с плоскостью $ABC$, и затем определяется точка пересечения исходной прямой $MK$ с найденной линией.

Алгоритм построения и его обоснование:

1. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через вершину пирамиды $S$ и точки $M$ и $K$. Обозначим эту плоскость $(SMK)$.
2. Найдем линию пересечения плоскости $(SMK)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Для этого найдем две точки, принадлежащие обеим плоскостям.
3. Точка $M$ лежит в плоскости грани $(SAB)$. Прямая $SM$ также лежит в плоскости $(SAB)$. Построим точку $M_1$ как пересечение прямой $SM$ с прямой $AB$: $M_1 = SM \cap AB$. Так как точка $M_1$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости основания $(ABC)$. Так как $M_1$ лежит на прямой $SM$, она принадлежит и вспомогательной плоскости $(SMK)$.
4. Аналогично, точка $K$ лежит в плоскости грани $(SCD)$. Прямая $SK$ также лежит в плоскости $(SCD)$. Построим точку $K_1$ как пересечение прямой $SK$ с прямой $CD$: $K_1 = SK \cap CD$. Так как точка $K_1$ лежит на прямой $CD$, она принадлежит плоскости основания $(ABC)$. Так как $K_1$ лежит на прямой $SK$, она принадлежит и вспомогательной плоскости $(SMK)$.
5. Прямая $M_1K_1$ проходит через две точки, принадлежащие и плоскости $(SMK)$, и плоскости $(ABC)$, следовательно, $M_1K_1$ является линией их пересечения: $(SMK) \cap (ABC) = M_1K_1$.
6. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ должна лежать на прямой $MK$ и в то же время в плоскости $(ABC)$. Поскольку прямая $MK$ лежит во вспомогательной плоскости $(SMK)$, искомая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей $(SMK)$ и $(ABC)$, то есть на прямой $M_1K_1$.
7. Таким образом, искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $M_1K_1$. Обе прямые лежат в одной плоскости $(SMK)$, поэтому они пересекаются (в общем случае).
   $P = MK \cap M_1K_1$.

Точка $P$ и есть искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $MK$ и прямой $M_1K_1$, где $M_1 = SM \cap AB$ и $K_1 = SK \cap CD$.