Номер 3.7, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.7. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через:

1) точки $A$, $C$ и $B_1$;

2) прямую $BD$ и точку $C_1$.

1) точки A, C и B₁

Чтобы построить сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $A, C$ и $B_1$, необходимо последовательно соединить эти точки отрезками, если они лежат в одной грани.

1. Точки $A$ и $C$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Соединяем их отрезком $AC$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $ABCD$.

2. Точки $A$ и $B_1$ лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединяем их отрезком $AB_1$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$.

3. Точки $B_1$ и $C$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $B_1C$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.

Полученные отрезки $AC$, $AB_1$ и $B_1C$ образуют замкнутую фигуру — треугольник $AB_1C$. Этот треугольник является искомым сечением, так как его стороны лежат на гранях куба, а вершины являются заданными точками.

Ответ: искомое сечение – треугольник $AB_1C$.

2) прямую BD и точку C₁

Секущая плоскость проходит через прямую $BD$ и точку $C_1$. Это означает, что плоскость сечения определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой: $B$, $D$ и $C_1$.

Для построения сечения выполним следующие шаги:

1. Точки $B$ и $D$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Отрезок $BD$ принадлежит сечению по условию.

2. Точки $B$ и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $BC_1$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.

3. Точки $D$ и $C_1$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединяем их отрезком $DC_1$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $DCC_1D_1$.

Полученные отрезки $BD$, $BC_1$ и $DC_1$ образуют замкнутую фигуру — треугольник $BDC_1$. Этот треугольник является искомым сечением, так как его стороны лежат на гранях куба.

Ответ: искомое сечение – треугольник $BDC_1$.