Номер 3.3, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.3. На ребре $BC$ тетраэдра $SABC$ отметили точку $D$. Какая прямая является линией пересечения плоскостей: 1) $ASD$ и $ABC$; 2) $ASD$ и $BSC$; 3) $ASD$ и $ASC$? Постройте сечение тетраэдра плоскостью $ASD$.

1) ASD и ABC

Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.
Плоскость $ASD$ определена точками $A$, $S$ и $D$.
Плоскость $ABC$ определена точками $A$, $B$ и $C$.
1. Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям по определению.
2. Точка $D$ по условию лежит на ребре $BC$. Ребро $BC$ целиком лежит в плоскости $ABC$, следовательно, точка $D$ также принадлежит плоскости $ABC$. По определению плоскости $ASD$, точка $D$ принадлежит и ей.
Таким образом, обе плоскости проходят через точки $A$ и $D$. Линией их пересечения является прямая, проходящая через эти две точки.
Ответ: Прямая $AD$.

2) ASD и BSC

Плоскость $ASD$ определена точками $A$, $S$ и $D$.
Плоскость $BSC$ определена точками $B$, $S$ и $C$.
1. Точка $S$ принадлежит обеим плоскостям по определению.
2. Точка $D$ по условию лежит на ребре $BC$. Ребро $BC$ целиком лежит в плоскости $BSC$, следовательно, точка $D$ также принадлежит плоскости $BSC$. По определению плоскости $ASD$, точка $D$ принадлежит и ей.
Таким образом, обе плоскости проходят через точки $S$ и $D$. Линией их пересечения является прямая, проходящая через эти две точки.
Ответ: Прямая $SD$.

3) ASD и ASC

Плоскость $ASD$ определена точками $A$, $S$ и $D$.
Плоскость $ASC$ определена точками $A$, $S$ и $C$.
1. Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям по определению.
2. Точка $S$ принадлежит обеим плоскостям по определению.
Таким образом, обе плоскости проходят через точки $A$ и $S$. Линией их пересечения является прямая, проходящая через эти две точки. Эта прямая совпадает с ребром тетраэдра $AS$.
Ответ: Прямая $AS$.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью ASD.

Сечение тетраэдра плоскостью представляет собой многоугольник, вершины которого лежат на ребрах тетраэдра, а стороны — на его гранях.
Секущая плоскость $ASD$ задана тремя точками: вершинами тетраэдра $A$ и $S$ и точкой $D$, лежащей на ребре $BC$.
Чтобы построить сечение, нужно найти отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани тетраэдра.
1. Плоскость $ASD$ пересекает грань $ABC$ по отрезку $AD$ (согласно пункту 1).
2. Плоскость $ASD$ пересекает грань $BSC$ по отрезку $SD$ (согласно пункту 2).
3. Плоскость $ASD$ пересекает грани $ASC$ и $ASB$ по их общему ребру $AS$.
Соединив точки $A$, $S$ и $D$, мы получим треугольник $ASD$. Этот треугольник и является искомым сечением тетраэдра. Для построения достаточно соединить точку $D$ на ребре $BC$ с вершинами $A$ и $S$.
Ответ: Сечением является треугольник $ASD$.