Номер 2.23, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.23. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ непараллельны, $X$ — произвольная точка, не принадлежащая плоскости четырёхугольника. Докажите, что при любом выборе точки $X$ прямая пересечения плоскостей $XAB$ и $XCD$ проходит через некоторую фиксированную точку.

Пусть $\alpha$ — плоскость, в которой лежит четырёхугольник $ABCD$.

По условию задачи, стороны $AB$ и $CD$ четырёхугольника непараллельны. Так как прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости $\alpha$ и непараллельны, они пересекаются в некоторой единственной точке. Обозначим эту точку через $P$. Таким образом, $P$ — это точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.

Положение точки $P$ определяется исключительно положением прямых $AB$ и $CD$, которые, в свою очередь, заданы вершинами четырёхугольника. Следовательно, точка $P$ является фиксированной и не зависит от выбора точки $X$.

Рассмотрим плоскости $(XAB)$ и $(XCD)$.

Точка $X$ по условию является общей для обеих плоскостей, так как она входит в их определение. Значит, точка $X$ принадлежит прямой их пересечения.

Теперь рассмотрим точку $P$.

1. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $AB$ ($P \in AB$), а вся прямая $AB$ принадлежит плоскости $(XAB)$, то и точка $P$ принадлежит плоскости $(XAB)$.

2. Аналогично, поскольку точка $P$ лежит на прямой $CD$ ($P \in CD$), а вся прямая $CD$ принадлежит плоскости $(XCD)$, то и точка $P$ принадлежит плоскости $(XCD)$.

Из этих двух пунктов следует, что точка $P$ принадлежит обеим плоскостям $(XAB)$ и $(XCD)$, а значит, она лежит на их прямой пересечения.

Мы нашли две точки, $X$ и $P$, которые лежат на прямой пересечения плоскостей $(XAB)$ и $(XCD)$. Так как по условию точка $X$ не принадлежит плоскости четырёхугольника ($\alpha$), а точка $P$ принадлежит этой плоскости, то точки $X$ и $P$ не совпадают ($X \neq P$). Следовательно, прямая пересечения этих плоскостей однозначно определяется как прямая, проходящая через точки $X$ и $P$, то есть прямая $XP$.

Поскольку эта прямая $XP$ при любом выборе точки $X$ проходит через точку $P$, а точка $P$ является фиксированной, то утверждение доказано. Прямая пересечения плоскостей $(XAB)$ и $(XCD)$ всегда проходит через фиксированную точку — точку пересечения прямых $AB$ и $CD$.

Ответ: Доказано, что прямая пересечения плоскостей $XAB$ и $XCD$ при любом выборе точки $X$ проходит через фиксированную точку, которой является точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.