Номер 2.20, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.20. Прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$, а точка $F$ — плоскости $\beta$ (рис. 2.8). Постройте прямую, по которой плоскость, проходящая через прямую $a$ и точку $F$, пересекает плоскость $\beta$.

Рис. 2.8

Пусть плоскость, проходящая через прямую $a$ и точку $F$, называется $\gamma$. Нам необходимо построить прямую, которая является пересечением плоскости $\gamma$ и плоскости $\beta$. Для построения прямой линии в пространстве достаточно найти две точки, через которые она проходит.

1. Нахождение первой точки.
По условию задачи, точка $F$ принадлежит плоскости $\beta$ ($F \in \beta$). По определению плоскости $\gamma$ (как плоскости, проходящей через прямую $a$ и точку $F$), точка $F$ также принадлежит этой плоскости ($F \in \gamma$). Следовательно, точка $F$ является общей точкой для плоскостей $\gamma$ и $\beta$ и, значит, лежит на их линии пересечения.

2. Нахождение второй точки.
Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $m$. Прямые $a$ и $m$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Из рисунка видно, что они не параллельны, следовательно, они пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $P$.
Докажем, что точка $P$ также лежит на линии пересечения. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $a$ ($P \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$), то точка $P$ также лежит в плоскости $\gamma$. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $m$ ($P \in m$), а прямая $m$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и лежит в плоскости $\beta$ ($m \subset \beta$), то точка $P$ также лежит в плоскости $\beta$. Так как точка $P$ принадлежит обеим плоскостям, $\gamma$ и $\beta$, она является их второй общей точкой и лежит на линии их пересечения.

3. Построение.
Мы нашли две различные точки, $F$ и $P$, принадлежащие искомой прямой. Проведя прямую через эти две точки, мы получим искомую прямую пересечения.

Алгоритм построения:

1. Найти прямую $m$ — линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
2. Найти точку $P$ — точку пересечения прямых $a$ и $m$.
3. Провести прямую через точки $F$ и $P$.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через точку $F$ и точку $P$, где $P$ — точка пересечения прямой $a$ с линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.