Номер 2.15, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.15. Найдите ошибку на рисунке 2.6, если известно, что прямые $BP$ и $CK$ пересекаются в точке $E$, прямая $BP$ пересекает прямую $AC$ в точке $B$, прямую $FM$ — в точке $P$, прямая $CK$ пересекает прямую $FM$ в точке $K$, прямые $AC$, $FE$ и $FM$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A$, $D$ и $M$ соответственно. Выполните правильный рисунок.

Рис. 2.6

Для нахождения ошибки на рисунке 2.6 проанализируем условия задачи и выведем из них геометрические следствия.

1. Анализ условий и нахождение ошибки

Согласно условиям задачи:

• Прямые $BP$ и $CK$ пересекаются в точке $E$. Из этого следует, что точки $B, P, C, K$ и $E$ лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\beta$.
• Прямая $BP$ пересекает прямую $AC$ в точке $B$. Это означает, что точка $B$ принадлежит прямой $AC$, следовательно, точки $A, B, C$ лежат на одной прямой (коллинеарны). На рисунке 2.6 точки $A, B, C$ являются вершинами треугольника, то есть не лежат на одной прямой. Это первая ошибка.
• Прямая $BP$ пересекает прямую $FM$ в точке $P$, а прямая $CK$ пересекает прямую $FM$ в точке $K$. Это означает, что точки $P$ и $K$ принадлежат прямой $FM$. Следовательно, точки $F, M, P, K$ лежат на одной прямой (коллинеарны). На рисунке 2.6 эти точки не лежат на одной прямой. Это вторая ошибка.

Теперь выведем главное логическое следствие из всех условий, которое указывает на наиболее существенную ошибку в построении.

Все ключевые линии и точки, упомянутые в задаче (за исключением точек $A, D, M$ на плоскости $\alpha$), лежат в одной плоскости $\beta$:

• Линии $BP$ и $CK$ лежат в плоскости $\beta$ по определению этой плоскости.
• Так как точки $P$ и $K$ лежат в $\beta$, то и вся прямая $FM$, проходящая через них, лежит в плоскости $\beta$.
• Так как точки $B$ и $C$ лежат в $\beta$, то и вся прямая $AC$, проходящая через них, лежит в плоскости $\beta$.
• Точка $F$ лежит на прямой $FM$, а точка $E$ — точка пересечения прямых $BP$ и $CK$. Все эти прямые лежат в $\beta$, значит, точки $F$ и $E$ также лежат в $\beta$. Следовательно, и прямая $FE$ полностью лежит в плоскости $\beta$.

Таким образом, мы установили, что три прямые — $AC$, $FE$ и $FM$ — лежат в одной плоскости $\beta$.

По условию, эти три прямые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A, D$ и $M$ соответственно. Согласно фундаментальной теореме стереометрии, если две различные плоскости (в нашем случае $\alpha$ и $\beta$) пересекаются, то их пересечением является прямая. Все точки, принадлежащие обеим плоскостям, лежат на этой прямой.

Поскольку прямые $AC, FE, FM$ лежат в плоскости $\beta$, а точки их пересечения с плоскостью $\alpha$ ($A, D, M$) принадлежат и плоскости $\alpha$, то все эти три точки должны лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, точки $A, D, M$ должны лежать на одной прямой.

На рисунке 2.6 точки $A, D, M$ изображены как вершины треугольника, то есть они не коллинеарны. Это и есть главная ошибка на рисунке, которая является следствием всей совокупности заданных условий.

Ответ: Основная ошибка на рисунке заключается в том, что точки $A, D, M$ (точки пересечения прямых $AC, FE, FM$ с плоскостью $\alpha$) не лежат на одной прямой, хотя из условий задачи следует их коллинеарность. Дополнительными ошибками являются неколлинеарное изображение точек $A, B, C$ и точек $F, P, K, M$.

2. Выполнение правильного рисунка

На правильном рисунке должны быть учтены все установленные геометрические свойства:

1. Плоскость $\alpha$ пересекается с плоскостью $\beta$ по прямой, на которой лежат точки $A, D, M$.
2. В плоскости $\beta$ лежат все остальные точки и прямые.
3. Точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.
4. Точки $F, P, K, M$ лежат на одной прямой.
5. Прямые $BP$, $CK$ и $FD$ пересекаются в одной точке $E$.

Ниже представлен рисунок, удовлетворяющий всем условиям задачи.