Номер 2.11, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.11. Даны пять точек, не лежащих в одной плоскости. Какое наибольшее количество из них может лежать на одной прямой?

Пусть даны пять точек, не лежащие в одной плоскости.

Рассмотрим различные случаи для максимального количества точек, которые могут лежать на одной прямой (быть коллинеарными).

1. Могут ли 5 точек лежать на одной прямой? Если все пять точек лежат на одной прямой $l$, то они также лежат в любой плоскости, содержащей эту прямую. Таким образом, они были бы копланарны (лежали бы в одной плоскости), что противоречит условию задачи. Значит, 5 точек не могут лежать на одной прямой.

2. Могут ли 4 точки лежать на одной прямой? Предположим, что четыре точки ($A$, $B$, $C$, $D$) лежат на одной прямой $l$. Пятая точка $E$ не лежит на этой прямой, иначе все пять точек были бы на одной прямой (случай 1). Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Таким образом, через прямую $l$ и точку $E$ можно провести единственную плоскость $\alpha$. В этой плоскости будут лежать все четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ (так как они лежат на прямой $l$) и точка $E$. Следовательно, все пять точек окажутся в одной плоскости $\alpha$, что снова противоречит условию задачи. Значит, 4 точки также не могут лежать на одной прямой.

3. Могут ли 3 точки лежать на одной прямой? Предположим, что три точки ($A$, $B$, $C$) лежат на одной прямой $l$. Оставшиеся две точки $D$ и $E$ не лежат на этой прямой. Возьмем точку $D$. Через прямую $l$ и точку $D$ можно провести плоскость $\alpha$. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ будут лежать в этой плоскости. Для того чтобы все пять точек не лежали в одной плоскости, необходимо, чтобы пятая точка $E$ не принадлежала плоскости $\alpha$. Такая конфигурация возможна. Например, можно взять три точки на оси $Ox$, четвертую точку на оси $Oy$, и пятую точку на оси $Oz$. Эти 5 точек не будут лежать в одной плоскости, но три из них будут лежать на одной прямой (оси $Ox$).

Таким образом, мы показали, что 4 или 5 точек не могут лежать на одной прямой при заданных условиях, но 3 точки могут. Следовательно, наибольшее количество точек, которые могут лежать на одной прямой, равно 3.
Ответ: 3