Номер 2.5, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.5. Сторона $AC$ и центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежат в плоскости $\alpha$. Лежит ли в этой плоскости вершина $B$?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть, как связаны между собой плоскость треугольника $ABC$ и плоскость $α$.

По определению, центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежит в той же плоскости, что и сам треугольник. Обозначим эту плоскость $P_{ABC}$. Таким образом, все четыре точки $A$, $B$, $C$ и $O$ лежат в плоскости $P_{ABC}$.

Из условия задачи нам известно, что сторона $AC$ (то есть точки $A$ и $C$) и точка $O$ лежат в плоскости $α$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Точки A, C и O не лежат на одной прямой.

Это общий случай, который имеет место, когда треугольник $ABC$ не является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Поскольку точки $A$, $C$, $O$ лежат и в плоскости $P_{ABC}$, и в плоскости $α$, эти две плоскости должны совпадать: $P_{ABC} = α$. Так как вершина $B$ принадлежит плоскости треугольника $P_{ABC}$, она также принадлежит и плоскости $α$.

2. Точки A, C и O лежат на одной прямой.

Этот частный случай возможен, только если центр описанной окружности $O$ лежит на стороне $AC$. Это означает, что $AC$ является диаметром описанной окружности, а треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AC$ ($ \angle B = 90^\circ $). В этой ситуации условие, что $A$, $C$ и $O$ лежат в плоскости $α$, означает, что вся прямая $AC$ лежит в плоскости $α$. Однако через прямую можно провести бесконечно много различных плоскостей. Плоскость треугольника $P_{ABC}$ и плоскость $α$ — это две плоскости, проходящие через прямую $AC$, и они не обязательно совпадают. Вершина $B$ лежит в плоскости $P_{ABC}$, но если $P_{ABC} \neq α$, то $B$ не будет лежать в плоскости $α$.

Ответ: Да, вершина $B$ лежит в этой плоскости, если треугольник $ABC$ не является прямоугольным с прямым углом $B$. Если же треугольник прямоугольный с гипотенузой $AC$, то вершина $B$ лежит в плоскости $α$ только в том случае, если плоскость $α$ совпадает с плоскостью самого треугольника.