Номер 2.7, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.7. Даны прямая $a$ и точка $A$ вне её. Докажите, что все прямые, которые проходят через точку $A$ и пересекают прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аксиомами стереометрии.

1. Согласно аксиоме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. В нашей задаче даны прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на ней ($A \notin a$). Следовательно, через них проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. По определению этой плоскости, прямая $a$ полностью в ней лежит ($a \subset \alpha$), и точка $A$ также ей принадлежит ($A \in \alpha$).

2. Теперь рассмотрим произвольную прямую $b$, которая удовлетворяет условиям задачи: она проходит через точку $A$ и пересекает прямую $a$. Обозначим точку их пересечения как $B$. Таким образом, мы имеем: $A \in b$ и $B \in b$, а также $B \in a$.

3. Нам нужно доказать, что прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Для этого воспользуемся другой аксиомой: если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Проверим это условие для прямой $b$ и плоскости $\alpha$.

- Точка $A$ принадлежит прямой $b$ (по условию) и принадлежит плоскости $\alpha$ (по построению плоскости $\alpha$).

- Точка $B$ принадлежит прямой $b$ (как точка пересечения) и принадлежит прямой $a$ (также как точка пересечения). Поскольку вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и любая её точка, включая точку $B$, принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, $B \in \alpha$.

4. Таким образом, мы показали, что две различные точки прямой $b$ (точки $A$ и $B$) лежат в плоскости $\alpha$. Из этого следует, что вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

5. Поскольку мы выбрали прямую $b$ произвольно из всех прямых, удовлетворяющих условию, наше доказательство справедливо для любой такой прямой. Все они будут лежать в одной и той же единственной плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Все прямые, которые проходят через точку $A$ и пересекают прямую $a$, лежат в одной плоскости. Эта плоскость является единственной плоскостью, проходящей через прямую $a$ и точку $A$.