Страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.4. Центр $O$ и хорда $AB$ окружности лежат в некоторой плоскости. Лежит ли в этой плоскости любая точка данной окружности?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая.

1. Хорда AB не является диаметром.
В этом случае центр окружности O и концы хорды, точки A и B, не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
По определению, окружность является плоской фигурой, то есть все её точки, включая центр O и точки A и B, лежат в одной плоскости (назовём её плоскостью окружности).
По условию задачи, точки O, A и B также лежат в некоторой данной плоскости.
Поскольку через три неколлинеарные точки O, A, и B можно провести только одну плоскость, то плоскость окружности и данная в условии плоскость совпадают. Следовательно, в этом случае любая точка окружности лежит в данной плоскости.

2. Хорда AB является диаметром.
В этом случае точки O, A и B лежат на одной прямой. Через одну прямую можно провести бесконечное множество различных плоскостей.
Окружность по определению лежит в некоторой одной плоскости, назовём её $\alpha$. Прямая AB, являющаяся диаметром, также лежит в этой плоскости $\alpha$.
В условии сказано, что центр O и хорда AB лежат в "некоторой плоскости", назовём её $\beta$. Это означает, что прямая AB лежит и в плоскости $\beta$.
Плоскости $\alpha$ (плоскость, в которой лежит вся окружность) и $\beta$ (плоскость, данная в условии) могут не совпадать. Они могут быть разными плоскостями, которые пересекаются по прямой AB. В таком случае в плоскости $\beta$ будет лежать только диаметр AB, а все остальные точки окружности, принадлежащие плоскости $\alpha$, не будут лежать в плоскости $\beta$.

Так как вопрос "Лежит ли... любая точка..." подразумевает, что утверждение должно быть верным во всех случаях, а мы нашли контрпример (случай с диаметром), то общий ответ на вопрос — нет.

Ответ: Нет, не обязательно. Если хорда AB является диаметром, то окружность может лежать в плоскости, отличной от данной, пересекаясь с ней по прямой AB. В этом случае в данной плоскости будут лежать только точки этого диаметра.

2.5. Сторона $AC$ и центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежат в плоскости $\alpha$. Лежит ли в этой плоскости вершина $B$?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть, как связаны между собой плоскость треугольника $ABC$ и плоскость $α$.

По определению, центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежит в той же плоскости, что и сам треугольник. Обозначим эту плоскость $P_{ABC}$. Таким образом, все четыре точки $A$, $B$, $C$ и $O$ лежат в плоскости $P_{ABC}$.

Из условия задачи нам известно, что сторона $AC$ (то есть точки $A$ и $C$) и точка $O$ лежат в плоскости $α$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Точки A, C и O не лежат на одной прямой.

Это общий случай, который имеет место, когда треугольник $ABC$ не является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Поскольку точки $A$, $C$, $O$ лежат и в плоскости $P_{ABC}$, и в плоскости $α$, эти две плоскости должны совпадать: $P_{ABC} = α$. Так как вершина $B$ принадлежит плоскости треугольника $P_{ABC}$, она также принадлежит и плоскости $α$.

2. Точки A, C и O лежат на одной прямой.

Этот частный случай возможен, только если центр описанной окружности $O$ лежит на стороне $AC$. Это означает, что $AC$ является диаметром описанной окружности, а треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AC$ ($ \angle B = 90^\circ $). В этой ситуации условие, что $A$, $C$ и $O$ лежат в плоскости $α$, означает, что вся прямая $AC$ лежит в плоскости $α$. Однако через прямую можно провести бесконечно много различных плоскостей. Плоскость треугольника $P_{ABC}$ и плоскость $α$ — это две плоскости, проходящие через прямую $AC$, и они не обязательно совпадают. Вершина $B$ лежит в плоскости $P_{ABC}$, но если $P_{ABC} \neq α$, то $B$ не будет лежать в плоскости $α$.

Ответ: Да, вершина $B$ лежит в этой плоскости, если треугольник $ABC$ не является прямоугольным с прямым углом $B$. Если же треугольник прямоугольный с гипотенузой $AC$, то вершина $B$ лежит в плоскости $α$ только в том случае, если плоскость $α$ совпадает с плоскостью самого треугольника.

2.6. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Все ли прямые, пересекающие прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости?

Нет, не все прямые, пересекающие данные прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости. Чтобы доказать это, рассмотрим различные случаи.

По условию, прямые $a$ и $b$ пересекаются. Пусть точка их пересечения — $O$. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ целиком лежат в плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим все прямые, которые пересекают одновременно и прямую $a$, и прямую $b$.

1. Прямые, пересекающие $a$ и $b$ в различных точках.
Возьмем любую прямую $c$, которая пересекает прямую $a$ в точке $A$, а прямую $b$ в точке $B$, причем точки $A$ и $B$ не совпадают ($A \neq B$).
Так как точка $A$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $A$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
Аналогично, так как точка $B$ принадлежит прямой $b$, а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $B$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
Поскольку две различные точки ($A$ и $B$) прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме вся прямая $c$ лежит в этой плоскости. Таким образом, все прямые, пересекающие $a$ и $b$ в разных точках, лежат в одной плоскости $\alpha$.

2. Прямые, пересекающие $a$ и $b$ в одной и той же точке.
Единственная общая точка для прямых $a$ и $b$ — это точка их пересечения $O$. Следовательно, любая прямая, пересекающая $a$ и $b$ в одной точке, должна проходить через точку $O$.
Через точку $O$ в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Некоторые из этих прямых (например, сами прямые $a$ и $b$) лежат в плоскости $\alpha$. Однако существуют и прямые, проходящие через точку $O$, но не лежащие в плоскости $\alpha$. Например, можно провести прямую $d$ через точку $O$ перпендикулярно плоскости $\alpha$. Эта прямая $d$ пересекает и прямую $a$ (в точке $O$), и прямую $b$ (в точке $O$), но сама не лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку мы нашли как прямые, удовлетворяющие условию и лежащие в плоскости $\alpha$ (случай 1), так и прямую (например, $d$), которая также удовлетворяет условию, но не лежит в плоскости $\alpha$ (случай 2), мы приходим к выводу, что не все прямые, пересекающие $a$ и $b$, лежат в одной и той же плоскости.

Ответ: Нет.

2.7. Даны прямая $a$ и точка $A$ вне её. Докажите, что все прямые, которые проходят через точку $A$ и пересекают прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аксиомами стереометрии.

1. Согласно аксиоме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. В нашей задаче даны прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на ней ($A \notin a$). Следовательно, через них проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. По определению этой плоскости, прямая $a$ полностью в ней лежит ($a \subset \alpha$), и точка $A$ также ей принадлежит ($A \in \alpha$).

2. Теперь рассмотрим произвольную прямую $b$, которая удовлетворяет условиям задачи: она проходит через точку $A$ и пересекает прямую $a$. Обозначим точку их пересечения как $B$. Таким образом, мы имеем: $A \in b$ и $B \in b$, а также $B \in a$.

3. Нам нужно доказать, что прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Для этого воспользуемся другой аксиомой: если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Проверим это условие для прямой $b$ и плоскости $\alpha$.

- Точка $A$ принадлежит прямой $b$ (по условию) и принадлежит плоскости $\alpha$ (по построению плоскости $\alpha$).

- Точка $B$ принадлежит прямой $b$ (как точка пересечения) и принадлежит прямой $a$ (также как точка пересечения). Поскольку вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и любая её точка, включая точку $B$, принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, $B \in \alpha$.

4. Таким образом, мы показали, что две различные точки прямой $b$ (точки $A$ и $B$) лежат в плоскости $\alpha$. Из этого следует, что вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

5. Поскольку мы выбрали прямую $b$ произвольно из всех прямых, удовлетворяющих условию, наше доказательство справедливо для любой такой прямой. Все они будут лежать в одной и той же единственной плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Все прямые, которые проходят через точку $A$ и пересекают прямую $a$, лежат в одной плоскости. Эта плоскость является единственной плоскостью, проходящей через прямую $a$ и точку $A$.

2.8. Прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $A$. Точка $B$ принадлежит прямой $m$, точка $C$ — прямой $n$, точка $D$ — прямой $BC$. Докажите, что прямые $m$ и $n$ и точка $D$ лежат в одной плоскости.

Для доказательства данного утверждения будем использовать аксиомы стереометрии и следствия из них.

1. По условию, прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $A$. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, и прямая $m$, и прямая $n$ лежат в плоскости $\alpha$.

2. По условию, точка $B$ принадлежит прямой $m$. Так как прямая $m$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и любая её точка, включая точку $B$, также принадлежит этой плоскости. То есть, $B \in \alpha$.

3. Аналогично, по условию, точка $C$ принадлежит прямой $n$. Так как прямая $n$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $C$ принадлежит этой плоскости. То есть, $C \in \alpha$.

4. Мы установили, что две различные точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $BC$ полностью лежит в плоскости $\alpha$.

5. По условию, точка $D$ принадлежит прямой $BC$. Поскольку вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, то любая точка этой прямой, включая точку $D$, также лежит в плоскости $\alpha$. То есть, $D \in \alpha$.

Таким образом, мы доказали, что прямые $m$ и $n$ лежат в плоскости $\alpha$, и точка $D$ также лежит в этой же плоскости $\alpha$. Следовательно, прямые $m$ и $n$ и точка $D$ лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $m$ и $n$ и точка $D$ лежат в одной плоскости.

2.9. Прямые AB и AC пересекают плоскость $\alpha$ в точках B и C, точки D и E принадлежат этой плоскости (рис. 2.3). Постройте точку пересечения прямой DE с плоскостью ABC.

Рис. 2.3

Чтобы построить точку пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$, нужно найти общую точку для этих прямой и плоскости. Обозначим искомую точку буквой $M$.

Алгоритм построения и обоснование:

1. Рассмотрим две плоскости: заданную плоскость $\alpha$ и плоскость $ABC$.

2. Найдем линию пересечения этих двух плоскостей. Точка $B$ принадлежит плоскости $ABC$ (по определению плоскости) и принадлежит плоскости $\alpha$ (по условию задачи). Следовательно, точка $B$ лежит на линии пересечения этих плоскостей.

3. Аналогично, точка $C$ принадлежит плоскости $ABC$ и плоскости $\alpha$. Значит, точка $C$ также лежит на линии пересечения этих плоскостей.

4. Через две различные точки проходит единственная прямая. Таким образом, линия пересечения плоскостей $ABC$ и $\alpha$ — это прямая $BC$.

5. По условию, точки $D$ и $E$ принадлежат плоскости $\alpha$. Следовательно, вся прямая $DE$ лежит в плоскости $\alpha$.

6. Искомая точка $M$ является точкой пересечения прямой $DE$ и плоскости $ABC$. Это значит, что точка $M$ должна лежать на прямой $DE$ и одновременно в плоскости $ABC$.

7. Так как точка $M$ лежит на прямой $DE$, а прямая $DE$ полностью находится в плоскости $\alpha$, то точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$.

8. Из шагов 6 и 7 следует, что точка $M$ должна принадлежать и плоскости $ABC$, и плоскости $\alpha$. Следовательно, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $BC$.

9. Таким образом, искомая точка $M$ — это точка, которая принадлежит одновременно двум прямым: $DE$ и $BC$. Так как обе эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha$, их можно построить и найти их точку пересечения (если они не параллельны).

Построение: В плоскости $\alpha$ строим прямую, проходящую через точки $B$ и $C$. Затем строим прямую, проходящую через точки $D$ и $E$. Точка пересечения прямых $BC$ и $DE$ и будет искомой точкой пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$ является точкой пересечения прямых $BC$ и $DE$.

2.10. Прямая $BA$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, прямая $BC$ — в точке $C$ (рис. 2.4). На отрезке $AB$ отметили точку $D$, на отрезке $BC$ — точку $E$. Постройте точку пересечения прямой $DE$ с плоскостью $\alpha$.

Рис. 2.4

Для построения точки пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ \alpha $ необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой $DE$, и плоскости $ \alpha $. Воспользуемся для этого методом вспомогательных плоскостей.

1. Прямые $BA$ и $BC$ пересекаются в точке $B$, следовательно, через них проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $ (ABC) $.

2. По условию, точка $D$ лежит на отрезке $AB$, а точка $E$ — на отрезке $BC$. Это означает, что точки $D$ и $E$ принадлежат плоскости $(ABC)$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Таким образом, прямая $DE$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$.

3. Искомая точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ \alpha $ является их общей точкой. Поскольку вся прямая $DE$ лежит в плоскости $(ABC)$, то искомая точка должна также лежать и на линии пересечения плоскостей $(ABC)$ и $ \alpha $.

4. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABC)$ и $ \alpha $. По условию, прямая $BA$ пересекает плоскость $ \alpha $ в точке $A$. Следовательно, точка $A$ принадлежит и плоскости $ \alpha $, и плоскости $(ABC)$. Аналогично, прямая $BC$ пересекает плоскость $ \alpha $ в точке $C$, значит, точка $C$ также принадлежит обеим плоскостям. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, проходящая через все их общие точки. Следовательно, плоскости $(ABC)$ и $ \alpha $ пересекаются по прямой $AC$.

5. Таким образом, искомая точка пересечения является точкой, принадлежащей одновременно двум прямым: $DE$ и $AC$. Так как обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ABC)$, они либо пересекаются (если не параллельны), либо параллельны. На рисунке видно, что они не параллельны, а значит, пересекаются в одной точке.

Построение:

1. Проводим прямую через точки $A$ и $C$. Эта прямая лежит в плоскости $ \alpha $.
2. Проводим прямую через точки $D$ и $E$.
3. Находим точку пересечения прямых $AC$ и $DE$. Эта точка и является искомой точкой пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ \alpha $.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $DE$ и прямой $AC$.

2.11. Даны пять точек, не лежащих в одной плоскости. Какое наибольшее количество из них может лежать на одной прямой?

Пусть даны пять точек, не лежащие в одной плоскости.

Рассмотрим различные случаи для максимального количества точек, которые могут лежать на одной прямой (быть коллинеарными).

1. Могут ли 5 точек лежать на одной прямой? Если все пять точек лежат на одной прямой $l$, то они также лежат в любой плоскости, содержащей эту прямую. Таким образом, они были бы копланарны (лежали бы в одной плоскости), что противоречит условию задачи. Значит, 5 точек не могут лежать на одной прямой.

2. Могут ли 4 точки лежать на одной прямой? Предположим, что четыре точки ($A$, $B$, $C$, $D$) лежат на одной прямой $l$. Пятая точка $E$ не лежит на этой прямой, иначе все пять точек были бы на одной прямой (случай 1). Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Таким образом, через прямую $l$ и точку $E$ можно провести единственную плоскость $\alpha$. В этой плоскости будут лежать все четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ (так как они лежат на прямой $l$) и точка $E$. Следовательно, все пять точек окажутся в одной плоскости $\alpha$, что снова противоречит условию задачи. Значит, 4 точки также не могут лежать на одной прямой.

3. Могут ли 3 точки лежать на одной прямой? Предположим, что три точки ($A$, $B$, $C$) лежат на одной прямой $l$. Оставшиеся две точки $D$ и $E$ не лежат на этой прямой. Возьмем точку $D$. Через прямую $l$ и точку $D$ можно провести плоскость $\alpha$. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ будут лежать в этой плоскости. Для того чтобы все пять точек не лежали в одной плоскости, необходимо, чтобы пятая точка $E$ не принадлежала плоскости $\alpha$. Такая конфигурация возможна. Например, можно взять три точки на оси $Ox$, четвертую точку на оси $Oy$, и пятую точку на оси $Oz$. Эти 5 точек не будут лежать в одной плоскости, но три из них будут лежать на одной прямой (оси $Ox$).

Таким образом, мы показали, что 4 или 5 точек не могут лежать на одной прямой при заданных условиях, но 3 точки могут. Следовательно, наибольшее количество точек, которые могут лежать на одной прямой, равно 3.
Ответ: 3

2.12. Три прямые пересекаются в одной точке. Через каждые две из этих прямых проведена плоскость. Сколько всего плоскостей проведено?

Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. В условии задачи даны три прямые, которые пересекаются в одной точке. Обозначим их $a$, $b$ и $c$.

Чтобы найти общее количество плоскостей, необходимо определить, сколько уникальных пар прямых можно составить из трех данных. Это является комбинаторной задачей нахождения числа сочетаний из 3 элементов по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n=3$ (общее число прямых) и $k=2$ (число прямых в паре для определения плоскости). Подставив значения в формулу, получаем:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

Таким образом, мы можем составить 3 пары пересекающихся прямых: $(a, b)$, $(a, c)$ и $(b, c)$. Каждая из этих пар однозначно определяет плоскость.

Далее нужно рассмотреть, являются ли плоскости, определенные этими парами, различными. Это зависит от пространственного расположения исходных трех прямых.

1. Если все три прямые лежат в одной плоскости (являются компланарными). Это частный случай. Тогда любая пара этих прямых будет лежать в этой же плоскости, и, следовательно, все три пары будут определять одну и ту же плоскость. В этом случае будет проведена только 1 плоскость.

2. Если три прямые не лежат в одной плоскости. Это общий случай. В таком случае каждая пара прямых будет определять свою собственную, уникальную плоскость. Если бы, например, плоскость, проходящая через прямые $a$ и $b$, совпадала с плоскостью, проходящей через прямые $a$ и $c$, то это означало бы, что все три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости, что противоречило бы условию этого случая. Следовательно, три разные пары прямых задают три разные плоскости.

В стандартной постановке подобных геометрических задач, если не дано дополнительных уточнений (например, что прямые лежат в одной плоскости), рассматривается наиболее общий случай. Общим случаем для трех прямых, пересекающихся в одной точке, является их некомпланарное расположение.

Таким образом, три различные пары прямых проводят три различные плоскости.

Ответ: 3

2.13. Как при помощи двух нитей столяр может проверить, лежат ли концы четырёх ножек стула в одной плоскости?

В основе решения лежит геометрический факт: четыре точки пространства лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда прямые, соединяющие их попарно (в данном случае — диагонали), пересекаются или параллельны. Для ножек стула случай параллельных диагоналей маловероятен, поэтому будем ориентироваться на пересечение.

Пусть концы ножек стула — это точки A, B, C и D, расположенные по кругу. Тогда диагоналями будут отрезки, соединяющие точки A и C, а также B и D.

Столяр должен выполнить следующие действия: 1. Взять первую нить и туго натянуть ее между концами двух диагонально противоположных ножек (например, A и C). 2. Взять вторую нить и так же туго натянуть ее между концами двух других диагонально противоположных ножек (B и D).

После этого нужно оценить взаимное расположение двух натянутых нитей.

• Если нити касаются друг друга (пересекаются в одной точке), это означает, что диагонали AC и BD пересекаются. Следовательно, все четыре точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Такой стул будет стоять на ровной поверхности устойчиво.
• Если нити не пересекаются (одна проходит над другой), это означает, что диагонали AC и BD являются скрещивающимися прямыми. Следовательно, концы ножек стула не лежат в одной плоскости. Такой стул будет качаться.

Ответ: Нужно натянуть две нити по диагоналям между концами ножек стула. Если нити пересекутся, то концы ножек лежат в одной плоскости. Если нити не пересекутся, то концы ножек не лежат в одной плоскости.

2.14. Найдите ошибку на рисунке 2.5, если известно, что вершина $D$ четырёхугольника $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, вершины $A$, $B$ и $C$ не лежат в этой плоскости, прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$, прямая $BC$ — в точке $F$. Выполните правильный рисунок.

Рис. 2.5

Нахождение ошибки

Поскольку $ABCD$ — четырёхугольник, будем считать его плоской фигурой (все его вершины лежат в одной плоскости). Обозначим эту плоскость $γ$.

Из условия известно, что прямая $AB$ пересекает плоскость $α$ в точке $E$. Так как точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $γ$, то и вся прямая $AB$ лежит в плоскости $γ$. Следовательно, точка $E$, принадлежащая прямой $AB$, также лежит в плоскости $γ$.

Аналогично, прямая $BC$ пересекает плоскость $α$ в точке $F$. Так как точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $γ$, то и вся прямая $BC$ лежит в плоскости $γ$. Следовательно, точка $F$, принадлежащая прямой $BC$, также лежит в плоскости $γ$.

Вершина $D$ по определению четырёхугольника также лежит в плоскости $γ$.

Таким образом, мы установили, что точки $D$, $E$ и $F$ принадлежат плоскости четырёхугольника $γ$. В то же время, по условию задачи, все эти три точки ($D$, $E$ и $F$) лежат в плоскости $α$.

Точки, принадлежащие одновременно двум различным плоскостям, лежат на прямой их пересечения. Следовательно, точки $D$, $E$ и $F$ должны лежать на одной прямой, которая является линией пересечения плоскостей $α$ и $γ$.

На рисунке 2.5 точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой (они изображены как вершины треугольника). Это является ошибкой.

Ответ: Ошибка на рисунке 2.5 заключается в том, что точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой. Согласно условию, если четырёхугольник $ABCD$ является плоской фигурой, эти точки должны быть коллинеарными, так как они принадлежат одновременно плоскости четырёхугольника и плоскости $α$, а значит, лежат на прямой их пересечения.

Правильный рисунок

На правильном рисунке точки $D$, $E$ и $F$ должны лежать на одной прямой в плоскости $α$.

Ответ:

2.15. Найдите ошибку на рисунке 2.6, если известно, что прямые $BP$ и $CK$ пересекаются в точке $E$, прямая $BP$ пересекает прямую $AC$ в точке $B$, прямую $FM$ — в точке $P$, прямая $CK$ пересекает прямую $FM$ в точке $K$, прямые $AC$, $FE$ и $FM$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A$, $D$ и $M$ соответственно. Выполните правильный рисунок.

Рис. 2.6

Для нахождения ошибки на рисунке 2.6 проанализируем условия задачи и выведем из них геометрические следствия.

1. Анализ условий и нахождение ошибки

Согласно условиям задачи:

• Прямые $BP$ и $CK$ пересекаются в точке $E$. Из этого следует, что точки $B, P, C, K$ и $E$ лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\beta$.
• Прямая $BP$ пересекает прямую $AC$ в точке $B$. Это означает, что точка $B$ принадлежит прямой $AC$, следовательно, точки $A, B, C$ лежат на одной прямой (коллинеарны). На рисунке 2.6 точки $A, B, C$ являются вершинами треугольника, то есть не лежат на одной прямой. Это первая ошибка.
• Прямая $BP$ пересекает прямую $FM$ в точке $P$, а прямая $CK$ пересекает прямую $FM$ в точке $K$. Это означает, что точки $P$ и $K$ принадлежат прямой $FM$. Следовательно, точки $F, M, P, K$ лежат на одной прямой (коллинеарны). На рисунке 2.6 эти точки не лежат на одной прямой. Это вторая ошибка.

Теперь выведем главное логическое следствие из всех условий, которое указывает на наиболее существенную ошибку в построении.

Все ключевые линии и точки, упомянутые в задаче (за исключением точек $A, D, M$ на плоскости $\alpha$), лежат в одной плоскости $\beta$:

• Линии $BP$ и $CK$ лежат в плоскости $\beta$ по определению этой плоскости.
• Так как точки $P$ и $K$ лежат в $\beta$, то и вся прямая $FM$, проходящая через них, лежит в плоскости $\beta$.
• Так как точки $B$ и $C$ лежат в $\beta$, то и вся прямая $AC$, проходящая через них, лежит в плоскости $\beta$.
• Точка $F$ лежит на прямой $FM$, а точка $E$ — точка пересечения прямых $BP$ и $CK$. Все эти прямые лежат в $\beta$, значит, точки $F$ и $E$ также лежат в $\beta$. Следовательно, и прямая $FE$ полностью лежит в плоскости $\beta$.

Таким образом, мы установили, что три прямые — $AC$, $FE$ и $FM$ — лежат в одной плоскости $\beta$.

По условию, эти три прямые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A, D$ и $M$ соответственно. Согласно фундаментальной теореме стереометрии, если две различные плоскости (в нашем случае $\alpha$ и $\beta$) пересекаются, то их пересечением является прямая. Все точки, принадлежащие обеим плоскостям, лежат на этой прямой.

Поскольку прямые $AC, FE, FM$ лежат в плоскости $\beta$, а точки их пересечения с плоскостью $\alpha$ ($A, D, M$) принадлежат и плоскости $\alpha$, то все эти три точки должны лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, точки $A, D, M$ должны лежать на одной прямой.

На рисунке 2.6 точки $A, D, M$ изображены как вершины треугольника, то есть они не коллинеарны. Это и есть главная ошибка на рисунке, которая является следствием всей совокупности заданных условий.

Ответ: Основная ошибка на рисунке заключается в том, что точки $A, D, M$ (точки пересечения прямых $AC, FE, FM$ с плоскостью $\alpha$) не лежат на одной прямой, хотя из условий задачи следует их коллинеарность. Дополнительными ошибками являются неколлинеарное изображение точек $A, B, C$ и точек $F, P, K, M$.

2. Выполнение правильного рисунка

На правильном рисунке должны быть учтены все установленные геометрические свойства:

1. Плоскость $\alpha$ пересекается с плоскостью $\beta$ по прямой, на которой лежат точки $A, D, M$.
2. В плоскости $\beta$ лежат все остальные точки и прямые.
3. Точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.
4. Точки $F, P, K, M$ лежат на одной прямой.
5. Прямые $BP$, $CK$ и $FD$ пересекаются в одной точке $E$.

Ниже представлен рисунок, удовлетворяющий всем условиям задачи.