Страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Как в математике называют первоначальные понятия, которым не дают определения?

2. Какие фигуры входят в список основных понятий стереометрии?

3. В каком случае говорят, что прямая пересекает плоскость?

4. В каком случае говорят, что плоскости пересекаются?

5. Сформулируйте аксиомы $A1$, $A2$, $A3$, $A4$, $A5$, $A6$.

1. В математике, как и в любой другой науке, построенной на строгой логике, есть исходные положения, которые принимаются без определения. Такие первоначальные понятия называют основными или неопределяемыми понятиями. Они служат фундаментом для определения всех последующих, более сложных понятий.
Ответ: Основные (или неопределяемые) понятия.

2. Стереометрия — это раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В список её основных (неопределяемых) понятий входят три фундаментальные геометрические фигуры: точка, прямая и плоскость.
Ответ: Точка, прямая, плоскость.

3. Говорят, что прямая пересекает плоскость, если у них есть только одна общая точка. Взаимное расположение прямой и плоскости может быть трёх видов: прямая лежит в плоскости (бесконечно много общих точек), прямая параллельна плоскости (нет общих точек) или прямая пересекает плоскость.
Ответ: Если прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку.

4. Говорят, что две различные плоскости пересекаются, если у них есть общие точки. Множество всех общих точек двух пересекающихся плоскостей образует прямую линию. Если у плоскостей нет общих точек, их называют параллельными.
Ответ: Если они имеют общую прямую.

5. Аксиомы — это исходные утверждения, принимаемые без доказательства. Формулировки и нумерация аксиом могут отличаться в разных учебниках. Ниже представлен один из возможных наборов, объединяющий аксиомы планиметрии и стереометрии.
A1: Через любые две точки пространства проходит прямая, и притом только одна.
A2: Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
A3: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
A4: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
A5: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
A6 (Аксиома параллельности): Через точку, не лежащую на данной прямой, в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Ответ:
A1: Через любые две точки проходит единственная прямая.
A2: Из трёх точек на прямой ровно одна лежит между двумя другими.
A3: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
A4: Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
A5: Если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой.
A6: Через точку вне прямой в их общей плоскости проходит единственная прямая, параллельная данной.

1.1. Изобразите плоскость $\alpha$, точку $M$, ей принадлежащую, и точку $K$, ей не принадлежащую. Запишите это с помощью соответствующих символов.

1.1.

Для выполнения этого задания необходимо изобразить геометрические объекты в пространстве и записать их взаимоотношения с помощью математических символов.

1. Изображение. В стереометрии плоскость принято изображать в виде параллелограмма. Обозначим эту плоскость греческой буквой α.

• Точка M принадлежит плоскости α. Это означает, что точка M лежит на этой плоскости. На рисунке мы изобразим её внутри параллелограмма.
• Точка K не принадлежит плоскости α. Это означает, что она находится вне плоскости (над ней или под ней). На рисунке мы изобразим её за пределами параллелограмма.

2. Символическая запись. Для записи принадлежности или непринадлежности точки плоскости используются специальные символы.

• Утверждение "точка M принадлежит плоскости α" записывается с помощью знака принадлежности $ \in $: $M \in \alpha$.
• Утверждение "точка K не принадлежит плоскости α" записывается с помощью знака непринадлежности $ \notin $: $K \notin \alpha$.

Ответ:
Рисунок представлен выше.
Символическая запись: $M \in \alpha$, $K \notin \alpha$.

1.2. Изобразите плоскость $\gamma$, проходящую через прямую $c$. Запишите это с помощью соответствующих символов.

Изобразите плоскость γ, проходящую через прямую c

В стереометрии плоскость, которая по определению бесконечна, условно изображается в виде некоторой конечной фигуры, чаще всего — параллелограмма. Прямая линия изображается как прямая. Чтобы показать, что плоскость $\gamma$ проходит через прямую $c$ (то есть прямая $c$ лежит в плоскости $\gamma$), необходимо изобразить прямую $c$ так, чтобы она полностью находилась внутри фигуры, представляющей плоскость $\gamma$.

Ответ:

Запишите это с помощью соответствующих символов

Утверждение "плоскость $\gamma$ проходит через прямую $c$" эквивалентно утверждению "прямая $c$ лежит в плоскости $\gamma$". В геометрии и прямая, и плоскость рассматриваются как множества точек. Поскольку каждая точка прямой $c$ также является точкой плоскости $\gamma$, прямая $c$ является подмножеством плоскости $\gamma$. Для обозначения того, что одно множество является подмножеством другого, используется символ включения $\subset$.

Ответ: $c \subset \gamma$

1.3. Изобразите плоскость $\alpha$ и прямую $b$, пересекающую данную плоскость в точке $A$. Запишите это с помощью соответствующих символов. Сколько точек прямой $b$ принадлежит плоскости $\alpha$?

Изображение плоскости α и прямой b

Для наглядного представления плоскости в пространстве обычно используют фигуру параллелограмма. Прямая, которая пересекает эту плоскость, изображается в виде линии, "пронзающей" этот параллелограмм. Часть прямой, которая с точки зрения наблюдателя находится за плоскостью, принято изображать пунктирной линией. Точка пересечения отмечается отдельно.

Ниже представлено требуемое изображение: плоскость $ \alpha $, которую пересекает прямая $ b $ в точке $ A $.

Ответ: Изображение и его описание представлены выше.

Символическая запись

Утверждение "прямая $ b $ пересекает плоскость $ \alpha $ в точке $ A $" означает, что точка $ A $ является единственным общим элементом для прямой $ b $ и плоскости $ \alpha $. В геометрии для обозначения пересечения используется символ $ \cap $.

Таким образом, символическая запись данного факта выглядит так: $ b \cap \alpha = A $.

Эта запись эквивалентна системе из двух утверждений: точка $ A $ принадлежит прямой $ b $ ($ A \in b $) и точка $ A $ принадлежит плоскости $ \alpha $ ($ A \in \alpha $).

Ответ: $b \cap \alpha = A$.

Сколько точек прямой b принадлежит плоскости α?

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве определяется аксиомами стереометрии. Возможны три случая:

1. Прямая лежит в плоскости (у них бесконечно много общих точек).
2. Прямая параллельна плоскости (у них нет общих точек).
3. Прямая пересекает плоскость.

Согласно аксиоме, если прямая не лежит в плоскости, то она может иметь с этой плоскостью не более одной общей точки.

В условии задачи сказано, что прямая $ b $ пересекает плоскость $ \alpha $. По определению это и означает, что прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку. Эта точка и есть точка их пересечения $ A $. Если бы существовала еще хотя бы одна общая точка, то, согласно другой аксиоме, вся прямая $ b $ целиком лежала бы в плоскости $ \alpha $, что противоречит условию (в таком случае говорят, что прямая принадлежит плоскости, а не пересекает ее).

Следовательно, плоскости $ \alpha $ принадлежит ровно одна точка прямой $ b $.

Ответ: 1.

1.4. Изобразите плоскости $\beta$ и $\gamma$, пересекающиеся по прямой $s$. Запишите это с помощью соответствующих символов.

Изобразите плоскости β и γ, пересекающиеся по прямой c

В соответствии с аксиомами стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Для изображения этой ситуации в пространстве, плоскости условно рисуют в виде параллелограммов. На рисунке ниже показаны две плоскости, $ \beta $ и $ \gamma $, которые пересекаются по общей для них прямой $ c $.

Запишите это с помощью соответствующих символов

Пересечение двух геометрических объектов (в данном случае, плоскостей, которые являются множествами точек) обозначается с помощью математического символа пересечения $ \cap $. Утверждение, что плоскость $ \beta $ и плоскость $ \gamma $ пересекаются по прямой $ c $, записывается в виде следующего равенства:

$ \beta \cap \gamma = c $

Эта формула читается так: «Пересечением плоскости бета и плоскости гамма является прямая цэ».

Ответ: Изображение пересекающихся плоскостей представлено на рисунке выше; символическая запись: $ \beta \cap \gamma = c $.

1.5. Прямая $a$ проходит через точку $A$ плоскости $\alpha$. Следует ли из этого, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть все возможные варианты взаимного расположения прямой и плоскости, при которых они имеют хотя бы одну общую точку.

Условие "прямая $a$ проходит через точку $A$ плоскости $\alpha$" означает, что у прямой $a$ и плоскости $\alpha$ есть как минимум одна общая точка — точка $A$. Математически это записывается как $A \in a$ и $A \in \alpha$.

Определение пересечения: говорят, что прямая пересекает плоскость, если они имеют ровно одну общую точку.

Рассмотрим два возможных случая, удовлетворяющих условию задачи:

1. Прямая $a$ имеет с плоскостью $\alpha$ только одну общую точку $A$. В этом случае, по определению, прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$.
2. Прямая $a$ имеет с плоскостью $\alpha$ более одной общей точки. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, в этом случае прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. У них бесконечно много общих точек. Этот случай также удовлетворяет исходному условию (прямая $a$ проходит через точку $A$ плоскости $\alpha$), но прямая не пересекает плоскость, а лежит в ней.

Поскольку существует случай (прямая лежит в плоскости), при котором исходное условие выполняется, но прямая не пересекает плоскость (в строгом смысле этого слова), то сделать однозначный вывод о пересечении нельзя.

Ответ: Нет, не следует. Из того, что прямая $a$ проходит через точку $A$ плоскости $\alpha$, следует, что у них есть как минимум одна общая точка. Однако возможны два случая: прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ (имеет с ней ровно одну общую точку $A$) или прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ (имеет с ней бесконечно много общих точек).

1.6. Запишите с помощью символов взаимное расположение точек и прямых, изображённых на рисунке 1.17, и плоскости $\alpha$.

Рис. 1.17

Проанализируем взаимное расположение точек, прямой и плоскости, показанных на рисунке, и запишем его с помощью математических символов.

1. Взаимоотношение точек и прямой $m$.
Все три точки E, F и D лежат на прямой $m$. Это означает, что они принадлежат этой прямой. В символьной записи с использованием знака принадлежности $ \in $ это выглядит так:
$ E \in m $
$ F \in m $
$ D \in m $

2. Взаимоотношение точек и плоскости $\alpha$.
Прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке E. Следовательно, точка E является общей для прямой и плоскости, то есть она принадлежит плоскости $\alpha$. Точки F и D также находятся на прямой $m$, но, как видно из рисунка, они не лежат в плоскости $\alpha$ (они находятся "над" ней). Для записи этого используем знаки принадлежности $ \in $ и непринадлежности $ \notin $:
$ E \in \alpha $
$ F \notin \alpha $
$ D \notin \alpha $

3. Взаимоотношение прямой $m$ и плоскости $\alpha$.
Прямая $m$ имеет с плоскостью $\alpha$ одну общую точку — E. Такая ситуация называется пересечением. С помощью символа пересечения $ \cap $ это записывается так:
$ m \cap \alpha = E $

Ответ:
$ E \in m, F \in m, D \in m $
$ E \in \alpha, F \notin \alpha, D \notin \alpha $
$ m \cap \alpha = E $

1.7. Даны точки A, B и C такие, что $\text{AB} = 5 \text{ см}$, $\text{BC} = 6 \text{ см}$, $\text{AC} = 7 \text{ см}$.

Сколько плоскостей можно провести через точки A, B и C?

Для того чтобы определить количество плоскостей, которые можно провести через три точки $A$, $B$ и $C$, необходимо установить, лежат ли эти точки на одной прямой (являются ли они коллинеарными).

Согласно основной аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость. Если же три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечное множество плоскостей.

Проверим, лежат ли точки $A$, $B$ и $C$ на одной прямой. Для этого нужно проверить, выполняется ли для них равенство, являющееся признаком коллинеарности: длина самого большого отрезка должна быть равна сумме длин двух других. В нашем случае даны длины: $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см.

Наибольший из отрезков — $AC$, его длина равна 7 см. Сравним ее с суммой длин двух других отрезков: $AB + BC = 5 + 6 = 11$ см.

Так как $AC \neq AB + BC$ ($7 \neq 11$), точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. Они образуют вершины треугольника, так как для них выполняется неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны: $5+6 > 7$, $5+7 > 6$, $6+7 > 5$).

Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ не коллинеарны, через них можно провести только одну плоскость.

Ответ: 1.

1.8. Даны точки $D$, $E$ и $F$ такие, что $DE = 2$ см, $EF = 4$ см, $DF = 6$ см.

Сколько плоскостей можно провести через точки $D$, $E$ и $F$?

Для определения количества плоскостей, которые можно провести через три точки D, E и F, необходимо установить их взаимное расположение. Согласно основной аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость.

Проверим, лежат ли данные точки на одной прямой. Три точки являются коллинеарными (лежат на одной прямой), если выполняется равенство треугольника, то есть сумма длин двух меньших отрезков, соединяющих эти точки, равна длине большего отрезка.

По условию задачи имеем следующие расстояния между точками:

$DE = 2$ см

$EF = 4$ см

$DF = 6$ см

Сравним сумму длин отрезков $DE$ и $EF$ с длиной отрезка $DF$:

$DE + EF = 2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6 \text{ см}$

Так как $DE + EF = DF$ ($6 \text{ см} = 6 \text{ см}$), это означает, что точка E лежит на отрезке прямой, соединяющем точки D и F. Следовательно, все три точки D, E и F лежат на одной прямой.

Через прямую (на которой лежат все три точки) можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Представить это можно на примере раскрытой книги: ее корешок — это прямая, а каждая страница — это плоскость, проходящая через эту прямую.

Ответ: через точки D, E и F можно провести бесконечное множество плоскостей.

1.9. В комнате на люстре сидели три мухи. Одновременно они начали летать: первая — кружить вокруг люстры на одинаковой высоте, вторая — спускаться от люстры вертикально вниз и подниматься обратно, третья — перемещаться от люстры до двери и обратно. Скорость всех мух одинакова. Через какое время все три мухи окажутся в одной плоскости?

Для решения этой задачи введем трехмерную декартову систему координат. Поместим люстру, с которой стартуют все три мухи, в начало координат $O(0, 0, 0)$.

Проанализируем траектории движения каждой мухи:

• Первая муха кружит вокруг люстры на одинаковой высоте. Ее траектория — это окружность, лежащая в горизонтальной плоскости. Примем эту плоскость за плоскость $xy$, тогда координата $z$ этой мухи всегда равна нулю. Положение первой мухи в момент времени $t$ можно описать как $M_1(x_1(t), y_1(t), 0)$.
• Вторая муха спускается вертикально вниз и поднимается обратно. Ее движение происходит вдоль вертикальной оси, которую мы принимаем за ось $z$. Ее положение в момент времени $t$ описывается как $M_2(0, 0, z_2(t))$.
• Третья муха перемещается от люстры до двери и обратно. Движение происходит по прямой в горизонтальной плоскости. Направим ось $x$ вдоль этой прямой. Тогда положение третьей мухи в момент времени $t$ будет $M_3(x_3(t), 0, 0)$.

Вопрос задачи заключается в том, через какое время все три мухи окажутся в одной плоскости.

Обратимся к основному свойству плоскости в геометрии: через любые три точки в пространстве, которые не лежат на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Если же три точки лежат на одной прямой (коллинеарны), то через них можно провести бесконечное множество плоскостей. В любом из этих случаев все три точки всегда принадлежат как минимум одной общей плоскости.

В начальный момент времени $t=0$ все три мухи находятся в одной точке — в начале координат. Три совпадающие точки, очевидно, лежат в одной плоскости (и на одной прямой).

Как только мухи начинают движение ($t > 0$), их положения в пространстве $M_1$, $M_2$ и $M_3$ в общем случае различны и не лежат на одной прямой. Следовательно, в любой момент времени $t > 0$ через три точки, в которых находятся мухи, можно провести плоскость.

Таким образом, условие "оказаться в одной плоскости" выполняется для трех мух непрерывно, в любой момент времени после начала их движения.

Ответ: Мухи окажутся в одной плоскости в любой момент времени после начала движения.