Номер 1.9, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.9. В комнате на люстре сидели три мухи. Одновременно они начали летать: первая — кружить вокруг люстры на одинаковой высоте, вторая — спускаться от люстры вертикально вниз и подниматься обратно, третья — перемещаться от люстры до двери и обратно. Скорость всех мух одинакова. Через какое время все три мухи окажутся в одной плоскости?

Для решения этой задачи введем трехмерную декартову систему координат. Поместим люстру, с которой стартуют все три мухи, в начало координат $O(0, 0, 0)$.

Проанализируем траектории движения каждой мухи:

• Первая муха кружит вокруг люстры на одинаковой высоте. Ее траектория — это окружность, лежащая в горизонтальной плоскости. Примем эту плоскость за плоскость $xy$, тогда координата $z$ этой мухи всегда равна нулю. Положение первой мухи в момент времени $t$ можно описать как $M_1(x_1(t), y_1(t), 0)$.
• Вторая муха спускается вертикально вниз и поднимается обратно. Ее движение происходит вдоль вертикальной оси, которую мы принимаем за ось $z$. Ее положение в момент времени $t$ описывается как $M_2(0, 0, z_2(t))$.
• Третья муха перемещается от люстры до двери и обратно. Движение происходит по прямой в горизонтальной плоскости. Направим ось $x$ вдоль этой прямой. Тогда положение третьей мухи в момент времени $t$ будет $M_3(x_3(t), 0, 0)$.

Вопрос задачи заключается в том, через какое время все три мухи окажутся в одной плоскости.

Обратимся к основному свойству плоскости в геометрии: через любые три точки в пространстве, которые не лежат на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Если же три точки лежат на одной прямой (коллинеарны), то через них можно провести бесконечное множество плоскостей. В любом из этих случаев все три точки всегда принадлежат как минимум одной общей плоскости.

В начальный момент времени $t=0$ все три мухи находятся в одной точке — в начале координат. Три совпадающие точки, очевидно, лежат в одной плоскости (и на одной прямой).

Как только мухи начинают движение ($t > 0$), их положения в пространстве $M_1$, $M_2$ и $M_3$ в общем случае различны и не лежат на одной прямой. Следовательно, в любой момент времени $t > 0$ через три точки, в которых находятся мухи, можно провести плоскость.

Таким образом, условие "оказаться в одной плоскости" выполняется для трех мух непрерывно, в любой момент времени после начала их движения.

Ответ: Мухи окажутся в одной плоскости в любой момент времени после начала движения.