Номер 1.14, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.14. Прямая $m$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (рис. 1.18). Точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, а точка $C$ — плоскости $\beta$. Постройте линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$ и с плоскостью $\beta$.

Рис. 1.18

По условию задачи, точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$ и $B \in \alpha$). По определению плоскости $ABC$, эти точки также принадлежат и ей ($A \in (ABC)$ и $B \in (ABC)$).
Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Так как у плоскостей $\alpha$ и $ABC$ есть две общие точки $A$ и $B$, то они пересекаются по прямой $AB$.

Ответ: Прямая $AB$.

Для построения линии пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\beta$ необходимо найти две их общие точки.
Одна общая точка нам известна по условию — это точка $C$, так как $C \in \beta$ и $C \in (ABC)$.
Найдем вторую общую точку. Для этого выполним следующие шаги:
1. Проведем прямую $AB$. Так как $A \in \alpha$ и $B \in \alpha$, то вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$).
2. Прямая $m$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($m = \alpha \cap \beta$). Это означает, что прямая $m$ лежит как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$.
3. Поскольку прямые $AB$ и $m$ обе лежат в плоскости $\alpha$, они либо параллельны, либо пересекаются. В общем случае (как можно предположить по рисунку) они пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $K$: $K = AB \cap m$.
Теперь покажем, что точка $K$ является общей для плоскостей $ABC$ и $\beta$:
- Так как точка $K$ принадлежит прямой $AB$ ($K \in AB$), а прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $ABC$, то точка $K$ принадлежит плоскости $ABC$ ($K \in (ABC)$).
- Так как точка $K$ принадлежит прямой $m$ ($K \in m$), а прямая $m$ целиком лежит в плоскости $\beta$, то точка $K$ принадлежит плоскости $\beta$ ($K \in \beta$).
Таким образом, мы нашли вторую общую точку $K$ для плоскостей $ABC$ и $\beta$.
Прямая, проходящая через две общие точки $C$ и $K$, и является искомой линией пересечения.

Ответ: Прямая $CK$, где $K$ — точка пересечения прямой $AB$ с прямой $m$.