Номер 1.16, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.16. Верно ли утверждение: любая прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, лежит в плоскости этого треугольника?

Данное утверждение неверно. Для доказательства этого рассмотрим свойства центров вписанной и описанной окружностей и различные типы треугольников.

Пусть треугольник лежит в некоторой плоскости $\alpha$.

1. Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектрисы, как отрезки, соединяющие вершины с противолежащими сторонами, полностью лежат в плоскости треугольника $\alpha$. Следовательно, их точка пересечения (инцентр) также лежит в плоскости $\alpha$.

2. Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры — это прямые, лежащие в той же плоскости, что и сам треугольник. Следовательно, их точка пересечения (центр описанной окружности) также лежит в плоскости $\alpha$.

Итак, оба центра всегда принадлежат плоскости треугольника. Далее необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1. Треугольник не является равносторонним.

В этом случае центры вписанной и описанной окружностей являются двумя различными точками. Назовем их $I$ и $O$. Обе точки $I$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Таким образом, для любого неравностороннего треугольника прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, лежит в плоскости этого треугольника.

Случай 2. Треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей, а также точка пересечения медиан (центроид) и точка пересечения высот (ортоцентр) совпадают и находятся в одной точке. Назовем эту точку $K$.
Вопрос звучит так: "Верно ли, что любая прямая, проходящая через центры...". В данном случае это означает "любая прямая, проходящая через точку $K$". Однако через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Только те из них, что лежат в плоскости $\alpha$, будут удовлетворять условию. Например, прямая, перпендикулярная плоскости треугольника $\alpha$ и проходящая через точку $K$, также проходит через "центры", но не лежит в плоскости треугольника.

Поскольку существует хотя бы один контрпример (любая прямая, проходящая через центр равностороннего треугольника и не лежащая в его плоскости), общее утверждение является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.