Номер 1.22, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.22. Вершина $A$ треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины $B$ и $C$ лежат вне этой плоскости. Продолжения медиан $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $K$ и $E$ соответственно. Докажите, что точки $A, K$ и $E$ лежат на одной прямой.

Доказательство:

Рассмотрим две плоскости: плоскость $\alpha$ (заданную в условии) и плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, назовем ее $(ABC)$.

Поскольку вершина $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины $B$ и $C$ лежат вне этой плоскости, то плоскость $(ABC)$ и плоскость $\alpha$ не совпадают. Две различные плоскости, имеющие общую точку (точку $A$), пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Назовем эту прямую $l$. Таким образом, $l = (ABC) \cap \alpha$.

Чтобы доказать, что точки $A, K$ и $E$ лежат на одной прямой, достаточно доказать, что все они лежат на прямой пересечения $l$.

1. Точка A: По условию, точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$. Так как $A$ является вершиной треугольника $ABC$, она также принадлежит плоскости $(ABC)$. Следовательно, точка $A$ принадлежит линии пересечения этих двух плоскостей, то есть $A \in l$.
2. Точка K: По условию, точка $K$ является точкой пересечения продолжения медианы $BM$ и плоскости $\alpha$. Это означает, что $K \in \alpha$. Медиана $BM$ соединяет две точки треугольника $ABC$ (вершину $B$ и середину стороны $AC$ - точку $M$). Следовательно, вся прямая $BM$ лежит в плоскости $(ABC)$. Так как точка $K$ лежит на прямой $BM$, то $K$ принадлежит плоскости $(ABC)$. Поскольку точка $K$ принадлежит обеим плоскостям, $\alpha$ и $(ABC)$, она должна лежать на их линии пересечения $l$. Таким образом, $K \in l$.
3. Точка E: Аналогично, по условию, точка $E$ является точкой пересечения продолжения медианы $CN$ и плоскости $\alpha$. Это означает, что $E \in \alpha$. Медиана $CN$ соединяет две точки треугольника $ABC$ (вершину $C$ и середину стороны $AB$ - точку $N$). Следовательно, вся прямая $CN$ лежит в плоскости $(ABC)$. Так как точка $E$ лежит на прямой $CN$, то $E$ принадлежит плоскости $(ABC)$. Поскольку точка $E$ принадлежит обеим плоскостям, $\alpha$ и $(ABC)$, она должна лежать на их линии пересечения $l$. Таким образом, $E \in l$.

Так как все три точки $A, K$ и $E$ принадлежат одной и той же прямой $l$, они лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки $A$, $K$ и $E$ лежат на одной прямой, являющейся линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости треугольника $ABC$.