Номер 1.15, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.15. Квадраты $ABCD$ и $ABC_1D_1$ не лежат в одной плоскости (рис. 1.19).

На отрезке $AD$ отметили точку $E$, а на отрезке $BC_1$ — точку $F$.

Постройте точку пересечения:

1) прямой $CE$ с плоскостью $ABC_1$;

2) прямой $FD_1$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 1.19

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, мы можем использовать следующий алгоритм: найти линию пересечения данной плоскости с некоторой вспомогательной плоскостью, содержащей данную прямую. Искомая точка будет являться точкой пересечения исходной прямой и найденной линии пересечения плоскостей.

В нашем случае, прямая $CE$ полностью лежит в плоскости квадрата $ABCD$. Примем плоскость $(ABC)$ в качестве вспомогательной.

Теперь найдем линию пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(ABC_1)$. Обе эти плоскости содержат точки $A$ и $B$, следовательно, они пересекаются по прямой $AB$.

Искомая точка пересечения прямой $CE$ с плоскостью $(ABC_1)$ должна одновременно принадлежать и прямой $CE$, и плоскости $(ABC_1)$. Поскольку прямая $CE$ лежит в плоскости $(ABC)$, искомая точка должна принадлежать обеим плоскостям, а значит, и линии их пересечения — прямой $AB$.

Таким образом, для нахождения искомой точки необходимо найти точку пересечения прямых $CE$ и $AB$. Эти прямые лежат в одной плоскости $(ABC)$, поэтому такое пересечение (если прямые не параллельны) можно построить.

Построение: В плоскости $(ABC)$ строим прямые $CE$ и $AB$ и находим их точку пересечения. Эта точка и будет являться точкой пересечения прямой $CE$ с плоскостью $(ABC_1)$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $CE$ и прямой $AB$.

Решение этой задачи аналогично предыдущей.

Точка $F$ лежит на отрезке $BC_1$, а $D_1$ — вершина квадрата $ABC_1D_1$. Следовательно, обе точки, а значит и вся прямая $FD_1$, лежат в плоскости $(ABC_1)$. Примем эту плоскость в качестве вспомогательной.

Далее находим линию пересечения вспомогательной плоскости $(ABC_1)$ и целевой плоскости $(ABC)$. Как и в первом пункте, линией их пересечения является прямая $AB$.

Искомая точка пересечения прямой $FD_1$ с плоскостью $(ABC)$ должна принадлежать и прямой $FD_1$, и плоскости $(ABC)$. Поскольку прямая $FD_1$ лежит в плоскости $(ABC_1)$, искомая точка принадлежит обеим плоскостям, а значит, и линии их пересечения — прямой $AB$.

Следовательно, искомая точка — это точка пересечения прямых $FD_1$ и $AB$. Эти прямые лежат в одной плоскости $(ABC_1)$, поэтому их пересечение можно построить.

Построение: В плоскости $(ABC_1)$ строим прямые $FD_1$ и $AB$ и находим их точку пересечения. Эта точка и будет являться точкой пересечения прямой $FD_1$ с плоскостью $(ABC)$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $FD_1$ и прямой $AB$.