Номер 1.17, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.17. О плоскостях $\alpha$ и $\beta$ и прямой $a$ известно, что $\alpha \cap \beta = c$, $a \subset \alpha$, и $a \cap \beta = M$. Докажите, что $a \cap c = M$.

Для доказательства утверждения $a \cap c = M$ воспользуемся данными из условия задачи.

Дано:
1. Две плоскости $α$ и $β$ пересекаются по прямой $c$. В виде формулы: $α \cap β = c$.
2. Прямая $a$ полностью лежит в плоскости $α$. В виде формулы: $a \subset α$.
3. Прямая $a$ пересекает плоскость $β$ в точке $M$. В виде формулы: $a \cap β = M$.

Доказать:
$a \cap c = M$

Доказательство:

Чтобы доказать, что пересечением прямых $a$ и $c$ является точка $M$, необходимо установить, что точка $M$ принадлежит обеим прямым ($M \in a$ и $M \in c$), и что она является единственной общей точкой этих прямых.

1. Рассмотрим принадлежность точки $M$ прямой $a$ и плоскости $β$.
Из условия $a \cap β = M$ следует, что $M$ — это точка пересечения прямой $a$ и плоскости $β$. По определению пересечения, точка $M$ принадлежит как прямой $a$, так и плоскости $β$. То есть, $M \in a$ и $M \in β$.

2. Рассмотрим принадлежность точки $M$ плоскости $α$.
По условию, прямая $a$ лежит в плоскости $α$ ($a \subset α$). Так как точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$), то она также принадлежит и плоскости $α$. То есть, $M \in α$.

3. Рассмотрим принадлежность точки $M$ прямой $c$.
Прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $α$ и $β$ ($c = α \cap β$). Это означает, что любая точка, принадлежащая прямой $c$, должна принадлежать одновременно обеим плоскостям.
Из предыдущих пунктов мы установили, что $M \in α$ и $M \in β$. Следовательно, точка $M$ принадлежит линии пересечения этих плоскостей, то есть прямой $c$. Таким образом, $M \in c$.

4. Вывод.
Мы доказали, что точка $M$ принадлежит и прямой $a$ ($M \in a$), и прямой $c$ ($M \in c$). Это означает, что $M$ является точкой их пересечения.
Прямые $a$ и $c$ обе лежат в плоскости $α$. Две прямые в одной плоскости могут либо совпадать, либо быть параллельными, либо пересекаться в одной точке.
Предположим, что прямые $a$ и $c$ совпадают ($a=c$). Тогда, поскольку $c = α \cap β$, то и $a = α \cap β$, что означает, что прямая $a$ лежит в плоскости $β$ ($a \subset β$). Это противоречит условию $a \cap β = M$, согласно которому прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Значит, прямые $a$ и $c$ не совпадают.
Таким образом, прямые $a$ и $c$ являются различными и имеют общую точку $M$. Две различные прямые могут пересекаться только в одной точке. Следовательно, $M$ является единственной точкой пересечения прямых $a$ и $c$.
Итак, $a \cap c = M$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.