Номер 1.13, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.13. Изобразите плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и прямые $a, b, c$, если известно, что

$\alpha \cap \beta = c, \alpha \cap \gamma = b, \beta \cap \gamma = a$.

Проанализируем данные условия задачи:

• $ \alpha \cap \beta = c $ — плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ пересекаются по прямой $ c $. Это означает, что прямая $ c $ принадлежит обеим плоскостям: $ c \subset \alpha $ и $ c \subset \beta $.
• $ \alpha \cap \gamma = b $ — плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ пересекаются по прямой $ b $. Это означает, что прямая $ b $ принадлежит обеим плоскостям: $ b \subset \alpha $ и $ b \subset \gamma $.
• $ \beta \cap \gamma = a $ — плоскости $ \beta $ и $ \gamma $ пересекаются по прямой $ a $. Это означает, что прямая $ a $ принадлежит обеим плоскостям: $ a \subset \beta $ и $ a \subset \gamma $.

Из этих условий следует, что любая точка, общая для всех трех плоскостей, должна также принадлежать всем трем прямым. То есть, пересечение трех плоскостей совпадает с пересечением трех прямых: $ \alpha \cap \beta \cap \gamma = a \cap b \cap c $.

Существует два основных случая взаимного расположения плоскостей и прямых, удовлетворяющих заданным условиям.

Случай 1: Три плоскости пересекаются в одной точке

Это наиболее общий случай. Если три плоскости имеют одну общую точку $ O $, то и три прямые их попарного пересечения $ a, b, c $ также должны пересекаться в этой точке $ O $. Визуально такая конфигурация напоминает угол комнаты, где три стены (плоскости) сходятся в одной точке, а линии их стыка (прямые) являются ребрами, сходящимися в той же точке.

Описание построения:

1. Выберем в пространстве произвольную точку $ O $.
2. Проведем через точку $ O $ три прямые $ a, b, c $, не лежащие в одной плоскости.
3. Плоскость $ \alpha $ определяется парой пересекающихся прямых $ b $ и $ c $.
4. Плоскость $ \beta $ определяется парой пересекающихся прямых $ a $ и $ c $.
5. Плоскость $ \gamma $ определяется парой пересекающихся прямых $ a $ и $ b $.

Схематическое изображение данного случая:

Случай 2: Три плоскости попарно пересекаются по параллельным прямым

В этом случае три плоскости не имеют общей точки ($ \alpha \cap \beta \cap \gamma = \emptyset $). Прямые их попарного пересечения $ a, b, c $ параллельны друг другу. Такая конфигурация образует фигуру, подобную бесконечной треугольной призме, где плоскости являются гранями, а прямые — ребрами.

Описание построения:

1. Выберем в пространстве три различные параллельные прямые $ a, b, c $.
2. Плоскость $ \alpha $ определяется парой параллельных прямых $ b $ и $ c $.
3. Плоскость $ \beta $ определяется парой параллельных прямых $ a $ и $ c $.
4. Плоскость $ \gamma $ определяется парой параллельных прямых $ a $ и $ b $.

Схематическое изображение данного случая:

Оба случая являются корректным решением задачи. Если в условии не оговорено иное, чаще всего подразумевается первый, более общий случай пересечения в одной точке.

Ответ: Заданным условиям удовлетворяют две конфигурации: 1) три плоскости $ \alpha, \beta, \gamma $, пересекающиеся в одной точке, при этом прямые их попарного пересечения $ a, b, c $ также пересекаются в этой точке; 2) три плоскости, попарно пересекающиеся по трем параллельным прямым $ a, b, c $ и не имеющие общей точки пересечения. Схематические изображения обоих случаев представлены выше.