Страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.10. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Нет, две плоскости не могут иметь только одну общую точку. Это утверждение следует из одной из основных аксиом стереометрии.

Аксиома о пересечении плоскостей гласит: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. Если мы предположим, что у них есть одна общая точка $A$, то согласно этой аксиоме, они должны пересекаться по некоторой прямой $l$, причём точка $A$ должна лежать на этой прямой ($A \in l$).

Любая прямая состоит из бесконечного множества точек. Поскольку вся прямая $l$ является пересечением плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то все точки этой прямой принадлежат обеим плоскостям. Следовательно, если у двух плоскостей есть хотя бы одна общая точка, то у них есть бесконечное множество общих точек.

Таким образом, для двух плоскостей в пространстве возможны только следующие случаи их взаимного расположения: они либо не имеют общих точек (параллельны), либо совпадают (все их точки общие), либо пересекаются по прямой (имеют бесконечное множество общих точек, лежащих на этой прямой). Случай, когда две плоскости имеют ровно одну общую точку, невозможен.

Ответ: Нет, не могут.

1.11. Изобразите плоскости $\alpha$ и $\beta$, прямую $c$, точки $A$ и $B$, если известно, что $\alpha \cap \beta = c$, $A \in c$, $B \in \alpha$, $B \notin \beta$.

Для построения чертежа, соответствующего условиям задачи, необходимо последовательно проанализировать и отобразить каждое из них.

1. Условие $ \alpha \cap \beta = c $ означает, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ непараллельны и пересекаются. В трехмерном пространстве линией пересечения двух плоскостей является прямая. Обозначим эту прямую как $ c $. На чертеже плоскости принято изображать в виде параллелограммов. Изобразим два пересекающихся параллелограмма (плоскости $ \alpha $ и $ \beta $) и их общую прямую $ c $.

2. Условие $ A \in c $ означает, что точка $ A $ принадлежит прямой $ c $. Поскольку прямая $ c $ является линией пересечения плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $, то она целиком лежит в обеих плоскостях ($ c \subset \alpha $ и $ c \subset \beta $). Следовательно, любая точка на прямой $ c $, включая точку $ A $, принадлежит одновременно обеим плоскостям ($ A \in \alpha $ и $ A \in \beta $). Отметим точку $ A $ на прямой $ c $.

3. Условия $ B \in \alpha $ и $ B \notin \beta $ означают, что точка $ B $ принадлежит плоскости $ \alpha $, но не принадлежит плоскоosti $ \beta $. Если бы точка $ B $ лежала на прямой $ c $, она бы принадлежала и плоскости $ \beta $, что противоречило бы условию $ B \notin \beta $. Таким образом, точка $ B $ должна лежать в плоскости $ \alpha $, но не на линии пересечения $ c $. Отметим точку $ B $ в любой части плоскости $ \alpha $, не совпадающей с прямой $ c $.

В результате получаем следующее пространственное изображение:

На представленном чертеже плоскость $ \alpha $ показана синим цветом, а плоскость $ \beta $ — зеленым. Прямая $ c $ является линией их пересечения. Точка $ A $ расположена на прямой $ c $, а точка $ B $ — в плоскости $ \alpha $, но не на прямой $ c $, что полностью соответствует условиям задачи.

Ответ: Изображение, удовлетворяющее всем условиям, представлено выше.

1.12. Изобразите плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и прямую $m$, если известно, что

$\alpha \cap \beta = m$, $\alpha \cap \gamma = m$.

Согласно условиям задачи, нам необходимо изобразить три плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и прямую $m$.

Условие $\alpha \cap \beta = m$ означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $m$. Это значит, что прямая $m$ одновременно принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$.

Аналогично, условие $\alpha \cap \gamma = m$ означает, что плоскости $\alpha$ и $\gamma$ также пересекаются по прямой $m$. Это значит, что прямая $m$ принадлежит также и плоскости $\gamma$.

Объединяя эти два условия, мы приходим к выводу, что все три плоскости ($\alpha$, $\beta$ и $\gamma$) проходят через одну и ту же общую прямую $m$. Такое расположение плоскостей в пространстве называется пучком плоскостей, а общая прямая $m$ — его осью. Визуально это можно представить как страницы раскрытой книги, где корешок — это общая прямая $m$.

Ответ:

Изображение, соответствующее условиям задачи, представлено ниже. На нём показаны три плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, которые пересекаются по одной общей прямой $m$.

1.13. Изобразите плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и прямые $a, b, c$, если известно, что

$\alpha \cap \beta = c, \alpha \cap \gamma = b, \beta \cap \gamma = a$.

Проанализируем данные условия задачи:

• $ \alpha \cap \beta = c $ — плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ пересекаются по прямой $ c $. Это означает, что прямая $ c $ принадлежит обеим плоскостям: $ c \subset \alpha $ и $ c \subset \beta $.
• $ \alpha \cap \gamma = b $ — плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ пересекаются по прямой $ b $. Это означает, что прямая $ b $ принадлежит обеим плоскостям: $ b \subset \alpha $ и $ b \subset \gamma $.
• $ \beta \cap \gamma = a $ — плоскости $ \beta $ и $ \gamma $ пересекаются по прямой $ a $. Это означает, что прямая $ a $ принадлежит обеим плоскостям: $ a \subset \beta $ и $ a \subset \gamma $.

Из этих условий следует, что любая точка, общая для всех трех плоскостей, должна также принадлежать всем трем прямым. То есть, пересечение трех плоскостей совпадает с пересечением трех прямых: $ \alpha \cap \beta \cap \gamma = a \cap b \cap c $.

Существует два основных случая взаимного расположения плоскостей и прямых, удовлетворяющих заданным условиям.

Случай 1: Три плоскости пересекаются в одной точке

Это наиболее общий случай. Если три плоскости имеют одну общую точку $ O $, то и три прямые их попарного пересечения $ a, b, c $ также должны пересекаться в этой точке $ O $. Визуально такая конфигурация напоминает угол комнаты, где три стены (плоскости) сходятся в одной точке, а линии их стыка (прямые) являются ребрами, сходящимися в той же точке.

Описание построения:

1. Выберем в пространстве произвольную точку $ O $.
2. Проведем через точку $ O $ три прямые $ a, b, c $, не лежащие в одной плоскости.
3. Плоскость $ \alpha $ определяется парой пересекающихся прямых $ b $ и $ c $.
4. Плоскость $ \beta $ определяется парой пересекающихся прямых $ a $ и $ c $.
5. Плоскость $ \gamma $ определяется парой пересекающихся прямых $ a $ и $ b $.

Схематическое изображение данного случая:

Случай 2: Три плоскости попарно пересекаются по параллельным прямым

В этом случае три плоскости не имеют общей точки ($ \alpha \cap \beta \cap \gamma = \emptyset $). Прямые их попарного пересечения $ a, b, c $ параллельны друг другу. Такая конфигурация образует фигуру, подобную бесконечной треугольной призме, где плоскости являются гранями, а прямые — ребрами.

Описание построения:

1. Выберем в пространстве три различные параллельные прямые $ a, b, c $.
2. Плоскость $ \alpha $ определяется парой параллельных прямых $ b $ и $ c $.
3. Плоскость $ \beta $ определяется парой параллельных прямых $ a $ и $ c $.
4. Плоскость $ \gamma $ определяется парой параллельных прямых $ a $ и $ b $.

Схематическое изображение данного случая:

Оба случая являются корректным решением задачи. Если в условии не оговорено иное, чаще всего подразумевается первый, более общий случай пересечения в одной точке.

Ответ: Заданным условиям удовлетворяют две конфигурации: 1) три плоскости $ \alpha, \beta, \gamma $, пересекающиеся в одной точке, при этом прямые их попарного пересечения $ a, b, c $ также пересекаются в этой точке; 2) три плоскости, попарно пересекающиеся по трем параллельным прямым $ a, b, c $ и не имеющие общей точки пересечения. Схематические изображения обоих случаев представлены выше.

1.14. Прямая $m$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (рис. 1.18). Точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, а точка $C$ — плоскости $\beta$. Постройте линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$ и с плоскостью $\beta$.

Рис. 1.18

По условию задачи, точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$ и $B \in \alpha$). По определению плоскости $ABC$, эти точки также принадлежат и ей ($A \in (ABC)$ и $B \in (ABC)$).
Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Так как у плоскостей $\alpha$ и $ABC$ есть две общие точки $A$ и $B$, то они пересекаются по прямой $AB$.

Ответ: Прямая $AB$.

Для построения линии пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\beta$ необходимо найти две их общие точки.
Одна общая точка нам известна по условию — это точка $C$, так как $C \in \beta$ и $C \in (ABC)$.
Найдем вторую общую точку. Для этого выполним следующие шаги:
1. Проведем прямую $AB$. Так как $A \in \alpha$ и $B \in \alpha$, то вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$).
2. Прямая $m$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($m = \alpha \cap \beta$). Это означает, что прямая $m$ лежит как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$.
3. Поскольку прямые $AB$ и $m$ обе лежат в плоскости $\alpha$, они либо параллельны, либо пересекаются. В общем случае (как можно предположить по рисунку) они пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $K$: $K = AB \cap m$.
Теперь покажем, что точка $K$ является общей для плоскостей $ABC$ и $\beta$:
- Так как точка $K$ принадлежит прямой $AB$ ($K \in AB$), а прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $ABC$, то точка $K$ принадлежит плоскости $ABC$ ($K \in (ABC)$).
- Так как точка $K$ принадлежит прямой $m$ ($K \in m$), а прямая $m$ целиком лежит в плоскости $\beta$, то точка $K$ принадлежит плоскости $\beta$ ($K \in \beta$).
Таким образом, мы нашли вторую общую точку $K$ для плоскостей $ABC$ и $\beta$.
Прямая, проходящая через две общие точки $C$ и $K$, и является искомой линией пересечения.

Ответ: Прямая $CK$, где $K$ — точка пересечения прямой $AB$ с прямой $m$.

1.15. Квадраты $ABCD$ и $ABC_1D_1$ не лежат в одной плоскости (рис. 1.19).

На отрезке $AD$ отметили точку $E$, а на отрезке $BC_1$ — точку $F$.

Постройте точку пересечения:

1) прямой $CE$ с плоскостью $ABC_1$;

2) прямой $FD_1$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 1.19

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, мы можем использовать следующий алгоритм: найти линию пересечения данной плоскости с некоторой вспомогательной плоскостью, содержащей данную прямую. Искомая точка будет являться точкой пересечения исходной прямой и найденной линии пересечения плоскостей.

В нашем случае, прямая $CE$ полностью лежит в плоскости квадрата $ABCD$. Примем плоскость $(ABC)$ в качестве вспомогательной.

Теперь найдем линию пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(ABC_1)$. Обе эти плоскости содержат точки $A$ и $B$, следовательно, они пересекаются по прямой $AB$.

Искомая точка пересечения прямой $CE$ с плоскостью $(ABC_1)$ должна одновременно принадлежать и прямой $CE$, и плоскости $(ABC_1)$. Поскольку прямая $CE$ лежит в плоскости $(ABC)$, искомая точка должна принадлежать обеим плоскостям, а значит, и линии их пересечения — прямой $AB$.

Таким образом, для нахождения искомой точки необходимо найти точку пересечения прямых $CE$ и $AB$. Эти прямые лежат в одной плоскости $(ABC)$, поэтому такое пересечение (если прямые не параллельны) можно построить.

Построение: В плоскости $(ABC)$ строим прямые $CE$ и $AB$ и находим их точку пересечения. Эта точка и будет являться точкой пересечения прямой $CE$ с плоскостью $(ABC_1)$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $CE$ и прямой $AB$.

Решение этой задачи аналогично предыдущей.

Точка $F$ лежит на отрезке $BC_1$, а $D_1$ — вершина квадрата $ABC_1D_1$. Следовательно, обе точки, а значит и вся прямая $FD_1$, лежат в плоскости $(ABC_1)$. Примем эту плоскость в качестве вспомогательной.

Далее находим линию пересечения вспомогательной плоскости $(ABC_1)$ и целевой плоскости $(ABC)$. Как и в первом пункте, линией их пересечения является прямая $AB$.

Искомая точка пересечения прямой $FD_1$ с плоскостью $(ABC)$ должна принадлежать и прямой $FD_1$, и плоскости $(ABC)$. Поскольку прямая $FD_1$ лежит в плоскости $(ABC_1)$, искомая точка принадлежит обеим плоскостям, а значит, и линии их пересечения — прямой $AB$.

Следовательно, искомая точка — это точка пересечения прямых $FD_1$ и $AB$. Эти прямые лежат в одной плоскости $(ABC_1)$, поэтому их пересечение можно построить.

Построение: В плоскости $(ABC_1)$ строим прямые $FD_1$ и $AB$ и находим их точку пересечения. Эта точка и будет являться точкой пересечения прямой $FD_1$ с плоскостью $(ABC)$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $FD_1$ и прямой $AB$.

1.16. Верно ли утверждение: любая прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, лежит в плоскости этого треугольника?

Данное утверждение неверно. Для доказательства этого рассмотрим свойства центров вписанной и описанной окружностей и различные типы треугольников.

Пусть треугольник лежит в некоторой плоскости $\alpha$.

1. Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектрисы, как отрезки, соединяющие вершины с противолежащими сторонами, полностью лежат в плоскости треугольника $\alpha$. Следовательно, их точка пересечения (инцентр) также лежит в плоскости $\alpha$.

2. Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры — это прямые, лежащие в той же плоскости, что и сам треугольник. Следовательно, их точка пересечения (центр описанной окружности) также лежит в плоскости $\alpha$.

Итак, оба центра всегда принадлежат плоскости треугольника. Далее необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1. Треугольник не является равносторонним.

В этом случае центры вписанной и описанной окружностей являются двумя различными точками. Назовем их $I$ и $O$. Обе точки $I$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Таким образом, для любого неравностороннего треугольника прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, лежит в плоскости этого треугольника.

Случай 2. Треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей, а также точка пересечения медиан (центроид) и точка пересечения высот (ортоцентр) совпадают и находятся в одной точке. Назовем эту точку $K$.
Вопрос звучит так: "Верно ли, что любая прямая, проходящая через центры...". В данном случае это означает "любая прямая, проходящая через точку $K$". Однако через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Только те из них, что лежат в плоскости $\alpha$, будут удовлетворять условию. Например, прямая, перпендикулярная плоскости треугольника $\alpha$ и проходящая через точку $K$, также проходит через "центры", но не лежит в плоскости треугольника.

Поскольку существует хотя бы один контрпример (любая прямая, проходящая через центр равностороннего треугольника и не лежащая в его плоскости), общее утверждение является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

1.17. О плоскостях $\alpha$ и $\beta$ и прямой $a$ известно, что $\alpha \cap \beta = c$, $a \subset \alpha$, и $a \cap \beta = M$. Докажите, что $a \cap c = M$.

Для доказательства утверждения $a \cap c = M$ воспользуемся данными из условия задачи.

Дано:
1. Две плоскости $α$ и $β$ пересекаются по прямой $c$. В виде формулы: $α \cap β = c$.
2. Прямая $a$ полностью лежит в плоскости $α$. В виде формулы: $a \subset α$.
3. Прямая $a$ пересекает плоскость $β$ в точке $M$. В виде формулы: $a \cap β = M$.

Доказать:
$a \cap c = M$

Доказательство:

Чтобы доказать, что пересечением прямых $a$ и $c$ является точка $M$, необходимо установить, что точка $M$ принадлежит обеим прямым ($M \in a$ и $M \in c$), и что она является единственной общей точкой этих прямых.

1. Рассмотрим принадлежность точки $M$ прямой $a$ и плоскости $β$.
Из условия $a \cap β = M$ следует, что $M$ — это точка пересечения прямой $a$ и плоскости $β$. По определению пересечения, точка $M$ принадлежит как прямой $a$, так и плоскости $β$. То есть, $M \in a$ и $M \in β$.

2. Рассмотрим принадлежность точки $M$ плоскости $α$.
По условию, прямая $a$ лежит в плоскости $α$ ($a \subset α$). Так как точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$), то она также принадлежит и плоскости $α$. То есть, $M \in α$.

3. Рассмотрим принадлежность точки $M$ прямой $c$.
Прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $α$ и $β$ ($c = α \cap β$). Это означает, что любая точка, принадлежащая прямой $c$, должна принадлежать одновременно обеим плоскостям.
Из предыдущих пунктов мы установили, что $M \in α$ и $M \in β$. Следовательно, точка $M$ принадлежит линии пересечения этих плоскостей, то есть прямой $c$. Таким образом, $M \in c$.

4. Вывод.
Мы доказали, что точка $M$ принадлежит и прямой $a$ ($M \in a$), и прямой $c$ ($M \in c$). Это означает, что $M$ является точкой их пересечения.
Прямые $a$ и $c$ обе лежат в плоскости $α$. Две прямые в одной плоскости могут либо совпадать, либо быть параллельными, либо пересекаться в одной точке.
Предположим, что прямые $a$ и $c$ совпадают ($a=c$). Тогда, поскольку $c = α \cap β$, то и $a = α \cap β$, что означает, что прямая $a$ лежит в плоскости $β$ ($a \subset β$). Это противоречит условию $a \cap β = M$, согласно которому прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Значит, прямые $a$ и $c$ не совпадают.
Таким образом, прямые $a$ и $c$ являются различными и имеют общую точку $M$. Две различные прямые могут пересекаться только в одной точке. Следовательно, $M$ является единственной точкой пересечения прямых $a$ и $c$.
Итак, $a \cap c = M$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1.18. О плоскостях $\alpha$ и $\beta$ и прямой $a$ известно, что $\alpha \cap \beta = c$, $a \subset \alpha$, $a \cap c = A$. Докажите, что $A \in \beta$.

Для доказательства утверждения воспользуемся определениями из стереометрии.

1. Из условия задачи нам известно, что прямая $a$ пересекает прямую $c$ в точке $A$. Это записывается как $a \cap c = A$. По определению пересечения двух геометрических объектов, точка $A$ является их общей точкой. Следовательно, точка $A$ принадлежит прямой $c$, что можно записать как $A \in c$.

2. Также по условию дано, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$, то есть $\alpha \cap \beta = c$. По определению линии пересечения плоскостей, все точки, принадлежащие этой линии, принадлежат одновременно обеим плоскостям. Это означает, что вся прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$ (а также в плоскости $\alpha$). Математически это записывается как $c \subset \beta$.

3. Объединяя выводы из предыдущих пунктов, мы имеем:

• Точка $A$ принадлежит прямой $c$ ($A \in c$).
• Прямая $c$ принадлежит плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$).

Если точка принадлежит прямой, а прямая целиком лежит в плоскости, то эта точка также принадлежит данной плоскости. Следовательно, точка $A$ принадлежит плоскости $\beta$, то есть $A \in \beta$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку $A \in c$ и $c \subset \beta$, то $A \in \beta$.

1.19. Точки $A, B, C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Дано: Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости.

Доказать: Никакие три из точек $A$, $B$, $C$, $D$ не лежат на одной прямой.

Доказательство:

Предположим обратное: пусть какие-либо три из этих четырех точек лежат на одной прямой. Без ограничения общности, пусть это будут точки $A$, $B$ и $C$. Обозначим прямую, на которой они лежат, как $l$.

Теперь рассмотрим эту прямую $l$ и четвертую точку $D$.

Согласно одной из аксиом стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Если точка $D$ не лежит на прямой $l$, то через прямую $l$ (содержащую точки $A$, $B$, $C$) и точку $D$ можно провести единственную плоскость $\alpha$. В этой плоскости будут лежать все четыре точки: $A$, $B$, $C$ (так как они лежат на прямой $l$, которая принадлежит плоскости $\alpha$) и $D$ (по построению).

Если же точка $D$ лежит на прямой $l$, то все четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной прямой $l$. Через любую прямую можно провести бесконечно много плоскостей. Мы можем выбрать любую из них, и все четыре точки будут лежать в этой плоскости.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что все четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат в одной плоскости. Однако это напрямую противоречит условию задачи, где сказано, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, никакие три из данных четырех точек не могут лежать на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.