Страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какие следствия из аксиом стереометрии вы знаете?

2. Укажите способы однозначного задания плоскости.

Следствия из аксиом стереометрии — это теоремы, которые доказываются непосредственно на основе этих аксиом. Основные следствия следующие:

• Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

  Эта теорема является прямым следствием аксиом. Для доказательства на данной прямой ($a$) выбирают две любые точки ($A$ и $B$). Вместе с точкой, не лежащей на прямой ($M$), они образуют три точки ($A, B, M$), не лежащие на одной прямой. Согласно аксиоме, через эти три точки проходит единственная плоскость. Так как точки $A$ и $B$ лежат в этой плоскости, то и вся прямая $a$ лежит в ней (по другой аксиоме). Таким образом, эта плоскость проходит через прямую $a$ и точку $M$, и она единственна.

• Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

  Для доказательства на одной из пересекающихся прямых ($a$) выбирают точку ($A$), не совпадающую с точкой пересечения ($C$), а на другой прямой ($b$) — точку ($B$), также не совпадающую с $C$. Точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, следовательно, через них можно провести единственную плоскость. Эта плоскость будет содержать обе прямые $a$ и $b$, так как по две их точки ($A$ и $C$ для прямой $a$, $B$ и $C$ для прямой $b$) принадлежат этой плоскости.

Ответ: Основные следствия из аксиом стереометрии: 1) через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость; 2) через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Плоскость в пространстве можно однозначно задать (определить) четырьмя способами. Эти способы вытекают из аксиом стереометрии и их следствий:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой.

   Это положение является одной из основных аксиом стереометрии. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

2. Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.

   Это первое следствие из аксиом. Если дана прямая $a$ и точка $M$ ($M \notin a$), то они однозначно определяют плоскость.

3. Двумя пересекающимися прямыми.

   Это второе следствие из аксиом. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то они лежат в одной, и только одной, плоскости.

4. Двумя параллельными прямыми.

   По определению, две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Можно доказать, что эта плоскость единственна. Таким образом, две параллельные прямые также однозначно задают плоскость.

Ответ: Способы однозначного задания плоскости: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и точкой вне ее; 3) двумя пересекающимися прямыми; 4) двумя параллельными прямыми.

2.1. Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и точку?

Ответ на данный вопрос зависит от взаимного расположения прямой и точки. Необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Точка лежит на прямой

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, принадлежащая этой прямой ($M \in a$). Через любую прямую в пространстве можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Это можно представить как вращение плоскости вокруг прямой, как страницы книги вращаются вокруг переплета. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$, любая плоскость, содержащая прямую $a$, будет также содержать и точку $M$. Следовательно, если точка лежит на прямой, через них можно провести бесконечное множество плоскостей.

Ответ: бесконечно много.

Случай 2: Точка не лежит на прямой

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, которая не принадлежит этой прямой ($M \notin a$). В этом случае можно применить одну из основных теорем стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Это можно доказать следующим образом. Возьмем на прямой $a$ две любые различные точки, например, $A$ и $B$. Так как точка $M$ не лежит на прямой $a$, то три точки $A$, $B$ и $M$ не лежат на одной прямой (неколлинеарны). Согласно аксиоме, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Назовем ее $\alpha$. Поскольку точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, то и вся прямая $a$, проходящая через эти точки, принадлежит плоскости $\alpha$. Таким образом, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$ и точку $M$, и она является единственной.

Ответ: одна.

2.2. Докажите, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость. Сколько можно провести таких плоскостей?

Докажите, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость.
Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, лежащие на одной прямой $a$. В пространстве всегда существует точка $D$, которая не лежит на прямой $a$.
Согласно следствию из аксиом стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем такую плоскость $\alpha$ через прямую $a$ и точку $D$.
Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат прямой $a$, а прямая $a$ по построению целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точки $A$, $B$ и $C$ лежат в этой плоскости $\alpha$.
Таким образом, существование такой плоскости доказано.
Ответ: Доказано, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость.

Сколько можно провести таких плоскостей?
Как было показано в доказательстве, плоскость, проходящая через три коллинеарные точки (то есть лежащие на одной прямой $a$), определяется выбором дополнительной точки, не лежащей на этой прямой.
Таких точек, не лежащих на прямой $a$, в пространстве существует бесконечное множество. Каждая точка $D$, не лежащая на прямой $a$, вместе с этой прямой задает плоскость. Если мы выберем другую точку $E$, которая не лежит в плоскости, заданной прямой $a$ и точкой $D$, то мы получим новую плоскость, также проходящую через прямую $a$.
Этот процесс можно продолжать бесконечно, выбирая все новые и новые точки. Множество всех плоскостей, проходящих через одну прямую, можно представить как страницы книги, где прямая является ее переплетом. Таких "страниц" (плоскостей) может быть бесконечно много.
Ответ: Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечно много плоскостей.

2.3. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ лежат в одной плоскости.

Поскольку прямые $AB$ и $CD$ пересекаются, то согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость как $\alpha$.

По определению, если прямая лежит в плоскости, то все точки этой прямой принадлежат этой плоскости.

Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то её точки $A$ и $B$ принадлежат этой плоскости ($A \in \alpha$ и $B \in \alpha$).

Аналогично, так как прямая $CD$ лежит в плоскости $\alpha$, то её точки $C$ и $D$ также принадлежат этой плоскости ($C \in \alpha$ и $D \in \alpha$).

Таким образом, все четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим прямую $AC$. Она определяется двумя точками, $A$ и $C$. Поскольку обе эти точки принадлежат плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости), вся прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Точно так же, прямая $BD$ определяется точками $B$ и $D$. Так как обе эти точки принадлежат плоскости $\alpha$, то и вся прямая $BD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Следовательно, мы доказали, что прямые $AC$ и $BD$ лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.