Страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.16. Точка $C$ лежит на прямой $AB$, а точка $D$ не лежит на этой прямой. Точка $E$ лежит на прямой $AD$. Докажите, что плоскости $ABD$ и $CDE$ совпадают.

Для того чтобы доказать, что плоскости $ABD$ и $CDE$ совпадают, необходимо показать, что три точки, определяющие плоскость $CDE$, лежат в плоскости $ABD$.

Плоскость $ABD$ однозначно задана тремя точками $A$, $B$, $D$, так как по условию точка $D$ не лежит на прямой $AB$, и, следовательно, эти три точки не лежат на одной прямой.

Докажем, что все три точки $C$, $D$ и $E$ лежат в плоскости $ABD$.

1. Точка $D$ принадлежит плоскости $ABD$ по самому определению этой плоскости.

2. По условию, точка $C$ лежит на прямой $AB$ ($C \in AB$). Так как точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $ABD$, то согласно аксиоме стереометрии (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости) вся прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $ABD$. Следовательно, точка $C$ также принадлежит плоскости $ABD$.

3. По условию, точка $E$ лежит на прямой $AD$ ($E \in AD$). Аналогично предыдущему пункту, так как точки $A$ и $D$ принадлежат плоскости $ABD$, то вся прямая $AD$ целиком лежит в этой плоскости. Следовательно, точка $E$ также принадлежит плоскости $ABD$.

Таким образом, мы установили, что все три точки $C, D, E$ принадлежат одной и той же плоскости $ABD$.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Точки $C, D, E$ в общем случае не лежат на одной прямой (это могло бы случиться только в вырожденном случае, если $C=A$, тогда все три точки лежали бы на прямой $AD$). Поскольку три неколлинеарные точки $C, D, E$ задают единственную плоскость $CDE$, и все эти три точки лежат в плоскости $ABD$, то плоскость $CDE$ совпадает с плоскостью $ABD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.17. Докажите, что если три прямые не принадлежат одной плоскости и каждые две из этих прямых пересекаются, то все данные прямые пересекаются в одной точке.

Обозначим данные три прямые как $a$, $b$ и $c$.

По условию, каждые две из данных прямых пересекаются. Возьмем две из них, например, прямые $a$ и $b$. Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$. Пусть точка их пересечения — $M$, то есть $a \cap b = \{M\}$.

Теперь рассмотрим третью прямую, $c$. По условию, она пересекает как прямую $a$, так и прямую $b$. Пусть прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $K$ и прямую $b$ в точке $P$. Нам нужно доказать, что все три точки $M$, $K$ и $P$ совпадают.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $c$ не проходит через точку $M$. В этом случае точки $K$ и $P$ не совпадают с точкой $M$. Кроме того, точки $K$ и $P$ должны быть различны. Если бы они совпадали ($K=P$), то эта общая точка принадлежала бы одновременно прямым $a$ и $b$, а значит, совпадала бы с их единственной точкой пересечения $M$, что противоречит нашему предположению.

Итак, у нас есть две различные точки $K$ и $P$ на прямой $c$. Рассмотрим их принадлежность плоскости $\alpha$. Точка $K$ принадлежит прямой $a$ ($K \in a$). Поскольку прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то и точка $K$ принадлежит этой плоскости ($K \in \alpha$). Аналогично, точка $P$ принадлежит прямой $b$ ($P \in b$), а так как $b \subset \alpha$, то и точка $P$ принадлежит этой плоскости ($P \in \alpha$).

Мы получили, что две различные точки $K$ и $P$ прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно следствию из аксиом стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

Таким образом, мы приходим к выводу, что все три прямые ($a$, $b$ и $c$) лежат в одной плоскости $\alpha$. Это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что «три прямые не принадлежат одной плоскости».

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $c$ должна проходить через точку $M$. Это значит, что точки $K$ и $P$ совпадают с точкой $M$.

Итак, все три прямые $a, b, c$ пересекаются в одной точке $M$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2.18. Прямые $a$, $b$ и $c$ попарно пересекаются, причём точки их пересечения не совпадают. Лежат ли прямые $a$, $b$ и $c$ в одной плоскости?

Да, прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости. Приведем развернутое доказательство этого факта.

Рассмотрим две из трех прямых, например, $a$ и $b$. По условию задачи, они пересекаются. Согласно основной аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ полностью лежат в плоскости $\alpha$.

Теперь необходимо определить положение прямой $c$ относительно плоскости $\alpha$. По условию, прямая $c$ пересекает каждую из прямых $a$ и $b$. Пусть $M$ — точка пересечения прямых $a$ и $c$ ($M = a \cap c$), а $N$ — точка пересечения прямых $b$ и $c$ ($N = b \cap c$). В условии сказано, что точки пересечения не совпадают, это означает, что три точки попарного пересечения прямых различны. Следовательно, точки $M$ и $N$ различны ($M \neq N$).

Так как точка $M$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$. Аналогично, так как точка $N$ принадлежит прямой $b$, а прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $N$ принадлежит плоскости $\alpha$.

В итоге мы имеем, что две различные точки ($M$ и $N$) прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно следствию из аксиом стереометрии, если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая целиком лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку все три прямые — $a$, $b$ и $c$ — лежат в одной и той же плоскости $\alpha$, они лежат в одной плоскости.

Ответ: Да, лежат.

2.19. Точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$, а точки $M$ и $N$ — плоскости $\beta$ (рис. 2.7). Постройте прямую пересечения плоскостей $\beta$ и $MNK$.

Рис. 2.7

Чтобы построить прямую пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим этим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться искомой прямой пересечения.

В данной задаче нам нужно найти прямую пересечения плоскостей $\beta$ и $MNK$.

1. Рассмотрим точку $M$. По условию, точка $M$ принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in \beta$). По определению плоскости $MNK$ (плоскость, проходящая через точки $M$, $N$ и $K$), точка $M$ также принадлежит и этой плоскости ($M \in MNK$). Значит, точка $M$ является общей точкой для обеих плоскостей.

2. Рассмотрим точку $N$. По условию, точка $N$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($N \in \beta$). По определению плоскости $MNK$, точка $N$ также принадлежит и этой плоскости ($N \in MNK$). Значит, точка $N$ является второй общей точкой для обеих плоскостей.

Мы нашли две различные точки ($M$ и $N$), которые одновременно лежат и в плоскости $\beta$, и в плоскости $MNK$. Согласно аксиоме стереометрии, линия пересечения двух плоскостей — это прямая, проходящая через все их общие точки. Поскольку через две точки можно провести только одну прямую, то прямая $MN$ и есть линия пересечения плоскостей $\beta$ и $MNK$.

Для построения этой прямой нужно просто соединить точки $M$ и $N$.

Ответ: Прямая пересечения плоскостей $\beta$ и $MNK$ — это прямая $MN$.

2.20. Прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$, а точка $F$ — плоскости $\beta$ (рис. 2.8). Постройте прямую, по которой плоскость, проходящая через прямую $a$ и точку $F$, пересекает плоскость $\beta$.

Рис. 2.8

Пусть плоскость, проходящая через прямую $a$ и точку $F$, называется $\gamma$. Нам необходимо построить прямую, которая является пересечением плоскости $\gamma$ и плоскости $\beta$. Для построения прямой линии в пространстве достаточно найти две точки, через которые она проходит.

1. Нахождение первой точки.
По условию задачи, точка $F$ принадлежит плоскости $\beta$ ($F \in \beta$). По определению плоскости $\gamma$ (как плоскости, проходящей через прямую $a$ и точку $F$), точка $F$ также принадлежит этой плоскости ($F \in \gamma$). Следовательно, точка $F$ является общей точкой для плоскостей $\gamma$ и $\beta$ и, значит, лежит на их линии пересечения.

2. Нахождение второй точки.
Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $m$. Прямые $a$ и $m$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Из рисунка видно, что они не параллельны, следовательно, они пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $P$.
Докажем, что точка $P$ также лежит на линии пересечения. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $a$ ($P \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$), то точка $P$ также лежит в плоскости $\gamma$. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $m$ ($P \in m$), а прямая $m$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и лежит в плоскости $\beta$ ($m \subset \beta$), то точка $P$ также лежит в плоскости $\beta$. Так как точка $P$ принадлежит обеим плоскостям, $\gamma$ и $\beta$, она является их второй общей точкой и лежит на линии их пересечения.

3. Построение.
Мы нашли две различные точки, $F$ и $P$, принадлежащие искомой прямой. Проведя прямую через эти две точки, мы получим искомую прямую пересечения.

Алгоритм построения:

1. Найти прямую $m$ — линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
2. Найти точку $P$ — точку пересечения прямых $a$ и $m$.
3. Провести прямую через точки $F$ и $P$.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через точку $F$ и точку $P$, где $P$ — точка пересечения прямой $a$ с линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

2.21. Треугольники $ABC$ и $ABC_1$ лежат в разных плоскостях. На сторонах $AC, CB, BC_1$ и $C_1A$ отметили точки $M, N, P$ и $K$ соответственно так, как показано на рисунке $2.9$. Могут ли эти точки принадлежать одной плоскости?

Рис. 2.9

Да, эти точки могут принадлежать одной плоскости. Рассмотрим, при каких условиях это возможно.

Пусть треугольник $ABC$ лежит в плоскости $α$, а треугольник $ABC_1$ лежит в плоскости $β$. Эти две плоскости пересекаются по прямой $AB$.

Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AC$ и $CB$ соответственно, следовательно, прямая $MN$ лежит в плоскости $α$.
Точки $K$ и $P$ лежат на сторонах $C_1A$ и $BC_1$ соответственно, следовательно, прямая $KP$ лежит в плоскости $β$.

Предположим, что все четыре точки $M, N, P, K$ лежат в одной плоскости, назовем ее $γ$.

Тогда плоскость $γ$ пересекает плоскость $α$ по прямой $MN$, а плоскость $β$ — по прямой $KP$.Согласно теореме о пересечении трех плоскостей, линии пересечения трех плоскостей ($α, β, γ$) либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной точке.В нашем случае линии пересечения — это $AB$ (пересечение $α$ и $β$), $MN$ (пересечение $α$ и $γ$) и $KP$ (пересечение $β$ и $γ$).

Следовательно, точки $M, N, P, K$ будут лежать в одной плоскости, если выполняется одно из двух условий:

1. Прямые $MN$, $KP$ и $AB$ пересекаются в одной точке.
В плоскости $α$ прямая $MN$ может пересекать прямую $AB$ в некоторой точке $S$. В плоскости $β$ прямая $KP$ также может пересекать прямую $AB$ в некоторой точке $S'$. Если мы выберем точки $M, N, K, P$ таким образом, чтобы точки $S$ и $S'$ совпали, то все три прямые пересекутся в одной точке. В этом случае прямые $MN$ и $KP$ пересекаются, а значит, определяют единственную плоскость $γ$. Точки $M, N, P, K$ будут лежать в этой плоскости.

2. Прямые $MN$, $KP$ и $AB$ параллельны.
Прямая $MN$ будет параллельна прямой $AB$ (по теореме о пропорциональных отрезках), если точки $M$ и $N$ делят стороны $AC$ и $BC$ в одинаковом отношении, считая от вершины $C$, то есть $CM/MA = CN/NB$.
Аналогично, прямая $KP$ будет параллельна прямой $AB$, если $C_1K/KA = C_1P/PB$.
Если оба этих условия выполнены, то $MN \parallel AB$ и $KP \parallel AB$, а значит $MN \parallel KP$. Две параллельные прямые ($MN$ и $KP$) всегда лежат в одной плоскости. Следовательно, все четыре точки $M, N, P, K$ будут принадлежать одной плоскости.

Поскольку существуют условия, при которых эти четыре точки могут лежать в одной плоскости, то ответ на вопрос положительный.

Ответ: Да, могут.