Номер 2.17, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.17. Докажите, что если три прямые не принадлежат одной плоскости и каждые две из этих прямых пересекаются, то все данные прямые пересекаются в одной точке.

Обозначим данные три прямые как $a$, $b$ и $c$.

По условию, каждые две из данных прямых пересекаются. Возьмем две из них, например, прямые $a$ и $b$. Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$. Пусть точка их пересечения — $M$, то есть $a \cap b = \{M\}$.

Теперь рассмотрим третью прямую, $c$. По условию, она пересекает как прямую $a$, так и прямую $b$. Пусть прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $K$ и прямую $b$ в точке $P$. Нам нужно доказать, что все три точки $M$, $K$ и $P$ совпадают.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $c$ не проходит через точку $M$. В этом случае точки $K$ и $P$ не совпадают с точкой $M$. Кроме того, точки $K$ и $P$ должны быть различны. Если бы они совпадали ($K=P$), то эта общая точка принадлежала бы одновременно прямым $a$ и $b$, а значит, совпадала бы с их единственной точкой пересечения $M$, что противоречит нашему предположению.

Итак, у нас есть две различные точки $K$ и $P$ на прямой $c$. Рассмотрим их принадлежность плоскости $\alpha$. Точка $K$ принадлежит прямой $a$ ($K \in a$). Поскольку прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то и точка $K$ принадлежит этой плоскости ($K \in \alpha$). Аналогично, точка $P$ принадлежит прямой $b$ ($P \in b$), а так как $b \subset \alpha$, то и точка $P$ принадлежит этой плоскости ($P \in \alpha$).

Мы получили, что две различные точки $K$ и $P$ прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно следствию из аксиом стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

Таким образом, мы приходим к выводу, что все три прямые ($a$, $b$ и $c$) лежат в одной плоскости $\alpha$. Это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что «три прямые не принадлежат одной плоскости».

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $c$ должна проходить через точку $M$. Это значит, что точки $K$ и $P$ совпадают с точкой $M$.

Итак, все три прямые $a, b, c$ пересекаются в одной точке $M$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.